Екі жне ш белгісізді сызыты тедеулер жйесі. Крамер формулалары.

Бізге ш белгісізді сызыты ш тендеулер

a₁₁x₁+ a₁₂x₂+a₁₃x₃=b₁

a₂₁x₁+ a₂₂x₂+a₂₃x₃=b₂

a₃₁x₁+ a₃₂x₂+a₃₃x₃=b₃

жйесі берілсін дейік. Мндаы а_ij коэффициентері мен b_i босмшелері наты сандар болсын. Мына белгілеулерді енгізейік

= , = , = , =

Егер , онда Крамер ережесі бойынша

n белгісіздігі m сызыты тедеулер жйесі берілген:

a₁₁x₁ + a₁₂ x₂ +… + a_1n x_n = b₁,

a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂ +… + a_2n x_n = b₂,

……………………….. (2)

 

a_m1 x₁ + a_m2 x₁ + … + a_mn x_n = b_m.

 

Мндаы а_ij кез келген наты сандар, х_i – белгісіз шамалар, ал b_j -бос мшелер, і=1, _m (1-ден m–ге дейін), j=1,_n. Егер бос мшелерді барлыы нлге те болса, онда (2) тедеулер жйесі біртекті деп, ал е болмаанда біреуі нлден зге болса, онда тедеулер жйесі біртекті емес деп аталады.

Анытама.a₁,a₂,…, a_n сандарын (2) тедеулер жйесіндегі белгісіздерді орнына ойанда тедеулерді брі тедікке айналса, онда бл сандар тедеулер жйесіні шешімі деп аталады.

Анытама.(2) тедеулер жйесіні е болмаанда бір шешімі болса, онда жйе йлесімді, ал шешімі жо болса йлеciмсіз деп атайды.

Анытама.Тедеулер жйесні тек бірі ана (жалы) шешімі болса аныталан, ал бірнеше (кейде аырсыз кп) шешімі болса аныталмаан деп аталады.

Мысалы,

2x₁ + 3x₂ = 5,

2x₁ + 3x₂ = 6

тедеулер жйесіні шешімі жо, яни йлесімсіз, йткені тедеулерді сол бліктері те, ал о бліктері ртрлі.

 

x₁ - x₂ = 2,

3x₁ - 3x₂ = 6 жйесі йлесімді, біра аныталмаан, йткені аырсыз кп шешімі бар. Егер екінші тедеуді 3-ке ысартса зара те тедеулер шыады.

n белгісіздігі n сызыты тедеулер жйесін арастырамыз:

a₁₁x₁ + a₁₂ x₂ +… + a_1n x_n = b₁,

a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂ +… + a_2n x_n = b₂,

……………………….. (3)

 

a_n1 x₁ + a_n2 x₂ + … + a_nn x_n = b_n.

 

 

(3) жйесіні шешімдері x_1, x_2, …., x_n - лер а_ij коэффициенттері мен b_j бос мшелері арылы рнектелуі керек, мндаы і, j=1,n.

 

Крамер дісі

Тедеулер жйесін шешу шін мектеп оулыынан белгілі алгебралы осу дісін олданамыз. (3) тедеулер жйесін шешу шін 1 тедеуді А_{11 -} ге, 2-ні А₂₁ –ге жне т.б., ал соы тедеуді А_n1 –ге кбейтемізде осы тедеулерді осып сас мшелерін біріктіреміз.

(a₁₁ A₁₁ + a₂₁A₂₁ + … + a_n1 A_n1) x₁ + (a₁₂ A₁₁+a₂₂ A₂₁ + …+ a_n2 A_n1)x₂ + …

+ (a_1n A₁₁ + a_2n A₂₁ + … + a_nn A_n1)x_n = b₁ A₁₁ + b₂ A₂₁ + … + b_n A_n1

(3) тедеулер жйесіні коэффициенттерінен рылан n-ретті анытауышты арастырамыз.

a₁₁ a₁₂ a₁₃ … a_1n

a₂₁ a₂₂ a₂₃ … a_2n

= a₃₁ a₃₂ a₃₃ … a_3n . (4)

… … … … …

a_n1 a_n2 a_n3 … a_nn

 

Мны тедеулер жйесіні бас анытауышы деп атайды. Белгісіз x₁ –ді коэффициенті бірінші баан элементіні зіні алгебралы толытауышына кбейтінділеріні осындыларынан трады, ендеше, ол 9-асиет бойынша (4) анытауыша те.

алан х₂ , х₃ , … х_n белгісіздеріні коэфициенттері екінші, шінші, …, n-баан элементтеріні бірінші баан элементтеріні алгебралы толытауышына кбейтінділеріні осындысынан трады, ал олар 10-асиет бойынша нлге те.

О жаы бос мшелер мен бірінші баанны алгебралы толытауыштарыны кбейтінділеріні осындысынан трады, ал бл бірінші баан элементтері бос мшелермен ауыстырылан (4) анытауышты береді. Сонда

х₁ = х_1, .

Осы тсілмен (3) тедеулер жйесіні баандарын сйкес алгебралы толытауыштарына кбейту арылы алан белгісізднрді табу формулалары орытылып шыарылады:

i = 1,n,_, (5)

мнда - жйені бас анытауышы, ал х_i - анытауышты і –баан мшелерін бос мшелерімен ауыстыраннан алынан осымша анытауыштар.

1.(5) формуладаы жйені бас анытауышы нлден зге болу керек. Бл жадайда (3) тедеулер жйесіні жалыз ана шешімі болады.

2.Егер = 0 болса, ал осымша анытауыштарды біреуі нлден зге (х_i = 0), онда тедеулер жйесіні шешімі болмайды (мектеп бадарламасы бойынша нлге блуге болмайды).

3.Егер = 0, жне барлы осымша анытауыштар да нлге те (х_i=0), онда жйені аырсыз кп шешімі болады.

айталау сратары:

1 СТЖ.

2 Біртекті СТЖ.

3 Біртекті емес СТЖ.

4 Біртекті СТЖ шешу жолдары.

5 Біртекті СТЖ шешуді Крамер дісі.

дебиеті: [1], [3], [4].

 

Дріс 6.

Таырып:Сызыты тедеулер жйесін Гаусс дісімен шешу

Масаты: Сызыты тедеулер жйесін Гаусс дісімен шешу жолымен таныстыру.

арастыратын сратар: Гаусс дісі

Гаусс-Жордан дісі

n белгісіздігі n сызыты тедеулер жйесін Крамер ережесімен шешуде n-i ретті (n+1) анытауышты есептеу те крделі жмыс.

Екіншіден, бас анытауыш нлге те боланда жне белгісіздер саны тедеулер санымен сйкес келмесе Крамер дісі олданыла алмайды. Сондытан, бірте-бірте белгісіздерді жою дісі (Гаусс дісі) олданылады, ал бл діс матрицаларды олдану арылы кеейтіледі.

Белгісіздер саны мен тедеулер саны бірдей болан жадай шін Гаусс дісін арастырамыз

а₁₁х₁ + а₁₂х₂ + … + a_1nx_n = b₁

 

а₂₁х₁ + а₂₂х₂ + … + a_2nx_n = b₂

…………………………………..

а_n1х₁ + а_n2х₂ + … + a_nnx_n = b_n

 

коэффициент а₁₁= 0 деп есептелік, бірінші тедеуді осы коэффициентке блеміз:

(а₁₁х₁ + а₁₂х₂ + … + a_1nx_n = b₁) = х₁ + а₁₂х₂ + … + a_1nx_n = b₁ . (*)

а₁₁

 

Алынан тедеуді (-а₂₁) – ге кбейтемізде (6) жйені екінші тедеуіне осамыз, сонда

а₂₂х₂ + а₂₃х₃ + … + a_2nx_n = b₂

жне дл осылай жаластырамыз, соында (*) тедеуін (-а_n1)-ге кбейтіп соы тедеуге осамыз, сонда

а_n2х₂ + а_n3х₃ + … + a_nnx_n = b_n.

Сонымен, (n-1) белгісіздігі жаа тедеулер жйесін аламыз

а₂₂х₂ + а₂₃х₃ + … + a_2nx_n = b₂ ,

а₃₂х₂ + а₃₃х₃ + … + a_3nx_n = b₃ , (7)

…… …… …… …… ……

а_n2х₂ + а_n3х₃ + … + a_nnx_n = b_n .

(7) жйе (6) жйеден тедеулерді сызыты трлендірулер арылы алынандытан, бл жйе (6) жйемен мндес, яни (7) жйені шешімдері берілген тедеулер жйесіні де шешімдері болады.

шінші, тртінші жне т.б. n-і тедеулердегі х₂ – ден тылу шін (7) жйені бірінші тедеуін а₂₂ санына блу ажет жне осы тедеуді х₂ – ні кері табасымен алынан коэффициентіне кбейтіп жне оларды осып мына жйені аламыз:

х₁ + а₁₂х₂ + а₁₃х₃ … + a_1nx_n = b₁ ,

х₂ + а₂₃⁽²⁾ х₃ + … + a_2n⁽²⁾ x_n = b₂⁽²⁾ ,

а₃₃⁽²⁾ х₃ + … + a_3n⁽²⁾ x_n = b₃⁽²⁾,

…… …… …… …….. .

а_n3⁽²⁾ х₃ + … + a_nn⁽²⁾ x_n = b_n ⁽²⁾ .

 

Бл алгоритмді n рет айталап тедеулер жйесін диагональді трге келтіреміз:

х₁ + а₁₂х₂ + а₁₃х₃ … + a_1nx_n = b₁ ,

х₂ + а₂₃⁽²⁾ х₃ + … + a_2n⁽²⁾ x_n = b₂⁽²⁾ ,

х₃ + … + a_3n⁽²⁾ x_n = b₃⁽³⁾,

…… …… …… …… .

а_nn ⁽ⁿ⁾ х_n = b_n ⁽ⁿ⁾ .

Соы тедеуден x_n –і табамыз, оны мнін алдындаы тедеуге ойып x_n-1-і мнін аламыз, осылай жоары арай жылжи отырып x₁-і мнін табамыз. Бл Гауссты классикалы дісі. Енді n белгісізі бар m тедеулер жйесін арастырамыз:

а₁₁х₁ + а₁₂х₂ + … + a_1nx_n = b₁ ,

а₂₁х₁ + а₂₂х₂ + … + a_2nx_n = b₂ , (8)

…… …… …… …… …….

а_m1х₁ + а_m2х₂ + … + a_mnx_n = b_m .

 

Анытама.

(8) тедеулер жйесіні белгісіздеріні коэффициенттерінен рылан матрица негізгі матрица деп аталады.

Егер осы матрицаа бос мшені (n+1) тік жолы (бааны) етіп алатын болса, онда ол кеейтілген матрица деп аталады:

a₁₁ a₁₂ … a_1n b₁

a₂₁ a₂₂ … a_2n b₂

A = … … … … .

a_m1 a_m2 … a_mn b_m

 

Матрица жолдарына сызыты амалдар олдануа болады:

- жолдарды ауыстыру;

- жолды кез келген сана кбейтуге жне оны бас жолды сйкес элементтеріне осуа;

- баандарды ауыстыру (ай белгісізге олар сйкес келетінін есте сатау керек);

- баан элементтеріне амалдар (осуа, кбейтуге жне т.б.)олдануа болмайды.

Гаусс-Жордан дісі жолдара сызыты амалдар олдана отырып негізгі матрицаны бірлік матрицаа келтіру болып табылады, яни

 

1 0 … 0 с₁

0 1 … 0 с₂

… … … … … .

0 0 … 1 с_m

 

Сонда, егер тік жолдар орындарын ауыстырмаса, онда жйені шешімі:

х₁= с₁; х₂ = с₂;…; х_m = с_m

айталау сратары:

1 Алдын ала нлдерге келтіру

2 Тура жру дісі

3 Кері адам

4 Элементар трлендіру

дебиеті: [1], [3], [4].

 

Дріс 7-9.

Таырып:Векторлы алгебра.

Масаты:Векторлы алгебраа кіріспе. Вектор ымы, оан олданылатын амалдарды аарастыру.

арастыратын сратар:

1. Вектор. Векторлара олданылатын сызыты амалдар

2. Векторды проекциясы

3. Векторды координаталарымен аныталуы

4. Нкте координаталары. Вектор координаталары