Векторлар жйесіні базисі жне ранг.

а₁,а₂,....,а_к –векторлар жйесін арастырайы.Жекелеп жиналан векторлар жйесі жне мынадай екі жадайды анааттандыратын:а) жиындарды векторлары сызыты туелсіз;б) жйені кез келген векторы осы жиындаы векторлрмен сызыты рнектелетін векторлар осы жйелерді максималь туелсіз осымша жйесі деп аталады.

Берілген векторлар жйесіні барлы максимальды туелсіз осымша жйелері бір векторлар санын райды деп бекітілген теорема наты. Векторлар жйесіні максимальды туелсіз осымша жйедегі векторлар базистік деп, ал базиске кірген векторлар базистік векторлар деп аталады.Векторлар жйесіні базистік векторларыны саны оларды рангі делінеді.

Мысала, мына векторлар жйесіні:

А₁=( а₁₁,а₁₂,.. ..,а_1n)

А₂=( а₂₁,а₂₂,.. ..,а_2n)

..............................

А_m=( а_m1,а_m2,.. ..,а_mn)

 

рангі деп осы жйедегі сызыты туелсіз векторларды максимальды санын айтады. Векторлар жйесіні рангі А матрицасыны, осы жйесіні векторларыны компоненттерінен ралан рангіне, яни А матрицасыны минорыны нлден баса е жоары ретіне те.

Мысал. Мына векторлар А₁=( 5,4,3,2), А₂=( 3,3,2,2), А₃=( 8,1,3,-4) жйесі сызыты туелді ме? Егер сызыты туелді болса, онда онымаксимальды сызыты туелсіз осымша жйесін анытау керек.

Шешуі. Векторларды компоненттері арылы матрица рып, оны рангін анытайы.

А=[5 4 3 2

3 3 2 2

8 1 3 -4]

 

Екінші ретті минор:[5 4

3 3]

шінші ретті екі минорды есептейік:

[5 4 3 [5 4 2

3 3 2 3 3 2

8 1 3 ]=118-118=0; 8 1-4]=2(59-59)=0.

 

А матрицасыны рангі 2-ге те, сондытан векторлар жйесі туелді. Себебі, векторлар жйесіні кез келген компоненттері арылы рылан екінші ретті минорлар нлге те емес.

Сондытан максимальды сызыты туелсіз осымша жйе екі кез келген векторлардан трады, ал шінші вектор оларды сызыты комбинациялары.

Базис туралы тсінік n лшемді векторларды шексіз жиынтытарынан тратын кеістіктегі Rⁿ –де блініп-ажырайды.

3-анытама. n векторлар жйесіRⁿ кеістікте базис деп аталады ,егер

1.осы жйені векторлары сызыты туелсіз болса

2.Rⁿ- кез келген векторы осы жйені векторларымен сызыты рнектелсе.

 

Кез келген базисте векторларды бейнелеу.

Айталы

а₁,а₂,....,а_m (1.9)

векторлар жйесі базистік, ал b оларды сызыты комбинациясы болсын. Онда мына теорема орынды.

2 – теорема.Базисте кез келген векторды бліп-ажырату ммкін болса жне осындай рекет натылы орындалса, онда ол жалыз ана.

Длелдеу.Вектор b, (1.9) рнектегі векторларды сызыты комбинациялвры арылы екі тсілмен берілсін.

b=₁a+ ₂a₂+…..+ _ma_m жне b=₁a+ ₂a₂+…..+ _ma_m

мндаы _i жне _i - бір-біріне дл келмейтін сандар жиыны.Бл жиындарда міндетті трде бір-біріне дл келмейтін нлге те емес сандар болуа тиісті.

Біріншісінен екінші тедікті алып тастап мынадай рнекті алайы.

(_{1 + 2})* ₁+(_{2 - 2})* _2+.........+(_{m– m})* _m=0

Алынан тедік (1.9) рнектегі векторлар жйесіні сызыты комбинациялары. Онда коэффициенттерді барлыы бірдей нлге те емес.(себебі _i жне _i - бір-біріне дл келмейді).Тедік нлге те, яни берілген жйе сызыты туелді болып шыты. Бл жадай теореманы шартына арсы.Сйтіп алынан айшылы теореманы натылыын длелдейді.

Сонымен Rⁿ кеістікте кез келген базисте

а₁,а₂,....,а_n (1.10)

осы кеістікті кез келген векторын мына трде бліп – ажырату арылы бейнелеуге болады.

b=₁a+ ₂a₂+…..+ _na_n (1.11)

жне бл бліп- ажырату берілген базис шін жалыз ана.

 

Бліп- ажырату коэффициенттері а₁,а₂,....,а_n b-векторыны (1.10) базистегі координаттары деп аталады жне жоарыда айтыландай біл жиын Rⁿ- кез келген векторлары шін жалыз ана.

Жалпы айтанда, (1.10) –ды кез келген базисінде бліп- ажырату коэффициенттерін табу есебі оай емес. Сол жатан бастап сызыты комбинациялау векторларыны координаттарын b-векторыны (1.11) координаттарымен теестіру керек. Базистік векторлармен b-векторыны координаттары мынадай алыпта берілсін

а₁=( а₁₁,а₁₂,.. ..,а_1n)

а₂=( а₂₁,а₂₂,.. ..,а_2n)

..............................

a_n=( а_n1,а_n2,.. ..,а_nn)

b=( b₁,b₂,.. ..,b_n)

Жоарыда жазылан тсілдермен белгісіз n координаттар бойынша b-векторды (1.10) базиске бліп- ажырату барысында n сызыты тедеулер жйесіне теміз

а₁₁а₁+а₁₂а₂+…+а_1nа_n=b₁

а₂₁а₁+а₂₂а₂+…+а_2nа_n=b₂

… … …

А_n1а₁+а_n2а₂+…+а_nnа_n=b_n

Мндай тедеулер жйесі жне оларды шешу дістері арнайы пнде, яни векторлы алгебрада кеірек арастырылады. Келесі блімдерде арастырылатын олданбалы математикалы дістерге оларды онша ажеті болмаандытан рі арай векторлы алгебраны бл блімдеріне тоталмаймыз.