В) Ортонормалданан векторлар жйесі жне оны асиеттері.

Анытама. Егер евклид R кеістігіндегі

(4.6)

векторлар жйесіне

тедіктері орындалса, онда (4.6) векторларды ортонормалданан векторлар дейміз, егер (4.7) тедіктерді тек бірінші тедіктері ана орындалса, онда оны ортогоналды векторлар деп атаймыз.

Теорема. Нлдік вектор кез келген вектора ортогонал: (х, 0) = 0, .

Длелдеуі. Кез келген у вектора (х, у) = 0 тедеуі орындалсын делік. Длелдеу керек х=0. у = х боланда (х, х)=0. Бдан х = 0. Теорема длелденді.

Теорема (Пифагор). Егер х, у векторлары ортогонал болса: (х, у) = 0, онда

Длелдеуі. Егер (х, у)=0 болса, онда (4.5) формуладан соs = 0, яни Ендеше х, у векторлары бір-біріне перпендикуляр: х у. Олай болса, тік брышты шбрышты катеттері, оны гипотенузасы ретінде арастырылады. Норманы анытамасы бойынша:

 

Теорема длелденді.

Теорема. Ортонормалданан векторлар жйесі сызыты туелсіз.

Длелдеуі. Берілген векторларды сызыты туелсіз екенін длелдеу шін

(4.8)

тедеуді арастырып, оны тек боланда ана орындалатынын длелдесек жеткілікті. Ол шін (4.8) тедеуді екі жаында l векторына скаляр кбейтелік, яни:

Осыдан

i-ді біртіндеп 1,2,...,n мндерін абылдаанын жне ортонормалданан векторлар екенін ескерсек, онда . Теорема длелденді.

Теорема. Егер евклид R кеістігіндегі сызыты туелсіз векторлар жйесі болса, онда оан сызыты туелді ортогоналды векторлар жйесі мына тмендегі

(4.9)

формулалармен рнектеледі, мндаы

(4.10)

Длелдеуі. Теореманы индукция дісімен длелдейміз. Іздеп отыран векторын берілген вектора те деп аламыз: ал векторды

(4.11)

тедеуінен анытаймыз, мндаы белгісіз траты коэффициент. Егер болса, онда векторлары сызыты туелді, ал бл теореманы шартына арама айшы, себебі сызыты туелсіз. Сондытан, . Белгісіз коэффициентті табу шін (4.11) тендікті векторына скаляр кбейтеміз:

Іздеп отыран вектор белгілі векторына ортогонал болу керек:

= 0. Онда

Сонымен, (4.9), (4.10) формулаларды i = 2 ,j=1 те жадайлары длелденді.

ортогонал векторларын (4.9)-дан, оны коэффициенттерін (4.10) формуламен рнектелетіндей етіп векторын ізделік. Ол ек векторды

(4.12)

тедігінсн анытаймыз, мндаы белгісіз траты коэффициенттер. Егер , онда векторлары сызыты туелді, ал ол теореманы шартына арама айшы. Ендеше, . Белгісіз ,траты коэффициенттерді табу шін, (4.12) тедеуді векторларына біртіндеп скаляр кебейтіп жне ортогонал векторлар екенін ескеріп, белгісіз коэффициенттері (4.10), формулалардан аныталатынын длелдейміз. Теорема длелденді.

Жоарыдаы теореманы длелдеу дісін, яни берілген сызыты туелсіз векторлар жйесінен ортогоналды векторлар жйесін ру дісі, ортогонализациялау тсілі деп аталады.

Теорема. Егер евклид кеістігіндегі ортогоналды векторлар жйесі болса, онда оан сызыты туелді ортонормалданан векторлар жйесін мына тмендегі

(4.13) (4.13)

формулалармен рнектеуге болады.

Длелдеуі. Теореманы длелдеу шін (4.13) формулалармен рнектелген ортонормалданан векторлар жйесі екенін длелдесек жеткілікті. Шынында да, егер болса, онда:

 

ал егер i= j болса, онда

Теорема длелденді.

Теорема. Кез келген п лшемді евклид R кеістігінде п вектордан рылан ортонормалданан базис бар.

Длелдеуі. векторлар жйесі евклид R кеістігіні базисі болсын делік. Сондытан, 4.7-теорема бойынша векторларына сызыты туелді ортогонал векторлар жйесін рамыз: Енді 4.8-теореманы пайдаланып, векторларына сызыты туелді , ортонормалданан вектор жйесін рамыз, ал ол жйе 4.6-теорема бойынша сызыты туелсіз, яни евклид R кеістігіні ортонормалды базисі. Теорема длелденді.

Мысал. [-1,1] сегментте аныталан дрежесі штен аспайтын кпмшеліктер кеістігіндегі ортогонал базисті табалы.

Ортогонал базисті табу шін элементтерін базис ретінде арастыралы. Енді 1, элементтеріне сызыты туелді ортогонал базис ізделік. (4.9) формула бойынша:

Мндаы .

Сонымен,

(.9) формуладан

мндаы

Сонымен,

Е соында (4.9) формуладан:

мндаы

Сонымен,