Г) Ортонормалданан базисте координаттарымен рнектелген екі векторды скаляр кбейтіндісі

Теорема.Евклид R_п кеістігіндегі кез келген екі векторды скаляркбейтіндісі

(1)

формуламен рнектелу шін, оны базисі ортонормалданан болуы ажетті рі жеткілікті.

ажеттілігі. (4.14) формула орындалсын деп, базис ортонормалданан болуын длелдейік. х пен у векторларын берілген базисте жіктелік:

 

(4.14) формуладан

Соы тедікті орындалуы шін евклид кеістікті базисі ортонормалданан болуы жеткілікті:

Жеткіліктігі. Евклид кеістігіні базисі ортонормалданан болсын деп йарып, (1) формуланы длелделік. Ол шін х пен у векторларыныд скаляр кбейтіндісін арастырамыз:

Теорема длелденді.

Теорема. Евклид кеістігіндегі ортонормалданан базисте векторды координаттары :

(4.15)

формуламен рнектеледі.

Длелдеуі. Берілген векторды базис бойынша жіктейік:

Осы жіктеуді екі жаында векторына скаляр кбейтсек жне ортонормалданан векторлар жйесі екенін ескерсек, онда

 

Теорема длелденді.

Анытама. Егер кез келген векторы кез келген векторына ортогонал болса, яни (х, у) = 0, онда евклид R кеістігіні екі ішкі мен кеістіктерін: зара ортогонал деп атаймыз, яни

Теорема. Евклид R кеістігіні ішкі мен кеістіктегі бір-бірімен ортогонал болу шін, яни кеістігіні барлы базистері кеістігіні барлы базистеріне ортогонал болуы ажетті рі жеткілікті.

ажеттілігі:

мен кеістіктері зара ортогонал болсын деп йарайы, яни Онда анытама бойынша кеістігіні барлы базистері кеістігіні барлы базистеріне ортогонал болады.

Жеткіліктілігі:

векторлар жйесі кеістігіні базисі, ал кеістгіні базисі болсын жне тедіктері орындалсын деп есептелік. Енді кез келген векторларды сйкес базистерде жіктеулерін

 

 

алып, оларды скаляр кебейтіндісін арастыралы. Онда

яни кез келген векторлары ортогонал немесе Теорема длелденді.

Теорема. Егер евклид кеістігіні екі ішкі мен кеістіктері зара ортогонал болса: онда оларды иылысуы нл вектор болады:

Длелдеуі. Кез келген х вектор кеістігіні элементі болсын деп йаралы, яни Онда жне (х, х) = 0. Бдан х = 0. Теорема длелденді.

Айталы, евклид R кеістігіні кез келген ішкі кеістігі берілсін: ал оны ортонормалданан базисі болсын делік. Енді ол базисті евклид кеістігіні ортонормалданан базисіне дейін толытыралы, яни мндаы п — diт R, k = dim . векторлар жйесі евклид R кеістігіні лшемі (n - k)-а те ішкі кеістігін растырады, яни

 

Теорема. Егер кез келген вектор ішкі кеістігіні кез келген векторына ортогонал болса: , онда х ішкі кеістігіні векторы:

Длелдеуі. Теореманы шарты бойынша жне , яни ,

Енді х векторды жіктелуіні екі жаында векторларына біртіндеп скаляр кбейтелік:

 

Егер ортонормалданан векторлар жне екенін ескерсек, онда

Демек, х векторды жіктелуі мына трде жазылады:

Бдан, . Теорема длелденді.

 

Анытама. Егер векторлар жиыны ішкі кеістігіні кез келген векторына ортогонал болса, онда ондай векторлар жиынын ішкі кеістігіні ортогонал толытауышы деп атаймыз, ал ол ішкі кеістікті символымен белгілейміз мндаы — пернендикуляр табасы.

 

Теорема. Егер жне dіт =k, dіт онда немесе dіт +dim .

Длелдеуі. векторлар жиыны ішкі кеістігіні базисі, ал наты сандар жиыны векторды координаттары болсын деп йаралы:

векторлар жиыны евклид R кеістігіні ортонормалданан базисі болсын (4.9-теорема). Онда:

(4.16)

 

мндаы берілген векторды координаттары.

Берілген вектор ішкі кеістігіні элементі болу шін, яни ,

(4.17)

тедіктерді орындалуы ажетті рі жеткілікті (4.12-теорема). Енді (4.16) формулаларды (4.17) тедіктерге ойып, жне ортонормалданан векторлар екенін ескерсек, онда

 

(4.18)

мндаы вектор х-ті координаттары. Бл (4.18) біртекті сызыты тедеулер жйені матрицасыны рангісі k. Сондытан, (4.18) жйені (n - k) сызыты туелсіз шешімі бар. Олай болса, . Теорема длелденді.

Жоарыдаы теоремаларды ескеріп, мына тмендегі тжырыма келеміз.