Тжірибелік саба. Rn векторлар
Масаты:Жазытытаы жне кеістіктегі вектор ымын бекіту, векторлара амалдар олдануды йрену. n-лшемді вектор, векторлы кеістік ымдарын алыптастыру, векторлара амал олдану.
А(10;-6) нктесі арылы тетін жне координатты брышпен 15 кв. ед ауданды шбрыш иятын тзуді тедеуін ру керек.
Шешуі:координат стерінде тзуді иятын кесінділердіа жне b деп белгілейік. Сонда тзу 
координатты брышта шбрыш ияды жне ол шбрышты ауданы 
те, яни ab=30 немесе ab=-30. А(10;-6) нктесі тзуді тедеуін анааттандыратындытан, онда екі жйеге ие болады:
Бірінше жйеден екі шешім табамыз: 
Екінщі жйені шешімі жо. Сонымен тзуді тедеуі:
немесе 6х+5у-30=0;
немесе 3х+10у+30=0.
Мысал 2. 
матрицасы берілген. ( 
) базисінен 
базисіне ауысу. 
координатты векторларын табу керек.
Шешуі: 
векторы 
базисіндегі координатасы: 
=(0;0;1).
Сондытан, формула бойынша: 
яни ( 
) базисінде вектор 
=(3;4;-5).
3.71. 
операторыны меншікті мндері мен меншікті векторларын табу керек. Мндаы 
.
Шешуі:характеристикалы тедеуін рамыз: 
немесе 
бдан 
, матрицаны меншікті мні: 
Енді 
меншікті мніне сйкес 
меншікті векторын табамыз: 
немесе 
яни 
десек, табатынымыз 
яни 
.
Енді 
меншікті мніне сйкес 
меншікті векторын табамыз: 
немесе 
яни 
десек, табатынымыз 
яни 
.
1. 
, 
. Табу керке:
a) 
, 
.
b) 
, 
c) 
d) 
e) 
1.(1). А(1;2;3) жне B (3;5;9) нктелері берілген. АВ векторыны координаталарын, баыттауыш косинусын, зындыын тап.
2.(1). 
жне 
андай мнінде, мына векторлар 
и 
коллинеар болады?
3.(1). Векторлар арасындаы бршты аныта 
и 
5. (1). 
жазытыында векторларды трыз: 
, 
.
№3.37 [8]
векторлары андай да бір базисте берілген. Аныта, 
векторы 
векторларыны сызыты комбинациясы бола ма?
сынылан дебиет: [12], [13], [16]
Практическое занятие № 6-7
Тема: Преобразование аффинной системы координат, прямоугольной системы координат. Угол между векторами. Полярные координаты.
Цели:Отработать и закрепить навыки работы с прямой, плоскостью в пространстве, уметь составлять уравнения прямой через две точки, каноническое, общее, а также общее уравнение плоскости. Использовать условия параллельности, перпендикулярности прямых и плоскостей, находить угол между ними.
Дан параллелепипед 
. В котором известны 
, 
, 
. Найти 1) объем; 2) площади граней; 3) высоту параллелепипеда; 4) угол между ребром 
и диагональю параллелепипеда 
.
Решение:
1) 
(куб. ед)
2) 
3) 
4) 
5) 
6) Косинус угла между векторами можно вычислить по формуле: 
.
Для чего найдем координаты вектора 
. Координаты вектора известны по условию.
, 
, отсюда 
.
.
Установить, компланарны ли векторы 
, 
, 
, если даны координаты векторов.
Решение: Если смешанное произведение трех векторов 
равно нулю, то эти векторы компланарны.
1) 
, 
, 
.
, векторы компланарны.
2) 
, 
, 
.
, векторы не компланарны.
3) 
, 
, 
.
, векторы компланарны.
Литература: [12], [13], [16]
Жазытытаы тзу
Талылайты сратар:
1.Брышты коэфицтентімен берілген тедеу.
2. Белгілі баытта белгілі нкте арылы тетін тздін тедеуі.
3. Екі белгілі нукте арылы тетін тздін тедеуі.
4. Кесіндідегі тздін тедеуі.
5. Жазытытаы тздін жалпы тедеуі.
6. Жазытыта тедеу бойынша тзді салу.
Тапсырма.
1. А(-2;4), В(6;-2) нктелер берілген. А жне В нктелері арылы теті тздін тедеуін р.
2. 
тедеуімен берілген тзді сал.
3. 2 тапсырмадаы тзді тедеуін брышты коэфициентпен жне жалпы трінде жаз.
Практическое занятие № 7
Тема: Векторное пространство.
1. Екінші ретті сызытарды жалпы тедеуі. екінші ретті сызы трін анытау.
2. Шебер: анытамасы, жалпы жне кононды тедеуі. мысалдар.
3. Эллипс: анытамасы, жалпы жне кононды тедеуі. мысалдар. эллипс фокустарыны координаталары, эксцентрисасы.
4. Гипербола: анытамасы, жалпы жне кононды тедеуі. мысалдар. гипербола фокустарыны координаталары, ассимптоталары. кері пропорционал туелділік.
5. Парабола: анытамасы, жалпы жне кононды тедеуі. мысал. парбола директрисасыны тедеуі.
Тапсырма
1. Сызы типін аныта жне оны центрін тап:
а) 9x2 + y2 – 36x – 2y + 28 = 0;
б) x2 + y2 – 4x + 8y – 16 = 0.
2. исы типін аныта жне оны фокустарыны координаталарын тап:
а) 5x2 – 4y2 – 20 = 0;
б) 2x2 – 8x + y + 5 = 0.
Литература: [14], стр. 48 - 51
Практическое занятие № 8-9
Тема: Различные способы задания прямой. Взаимное расположение двух прямых.
КЕІСТІКТЕГІ ТЗУ МЕН ЖАЗЫТЫ
Талылау сратары
1. Кеістіктегі тзуді жалпы тедеуі. кесіндідегі жазыты тадеуі.
2. Кеістіктегі екі жазытыты параллельдік жне перпендикулярлы шарттары.
3. Кеістіктегі тзуді жалпы тедеу. кеістіктегі тедеуді канонды тедеуі. кеістіктегі екі нкте арылы тетін тзу тедеуі.
4. Кеістіктегі екі тзуді параллельдік жне перпендикулярлы шарттары.
5. Кеістіктегі тзу мен жазытыты параллельдік жне перпендикулярлы шарттары.
Тпсырмалар
1. М1(3; –1; 2) и М2(–1; 2; 5) нктелері берілген. 
векторына перпендикуляр М1 нктесі арылы тетін жазыты тедеуін жаз.
2. М0(2; –1; –3) нктесі арылы 3х + y – z – 8 = 0. жазытыына перпендикуляр тзуді параметрлік тедеуін жаз.
Практическое занятие № 10-11
Тема: Изучение кривых второго порядка по их каноническим уравнениям. Эллипс, гипербола, парабола.
1. Составить уравнение окружности в каждом из следующих случаев:
a)Точки А(3;2) и В(-1;6) являются концами одного из диаметров окружности.
b) Центр совпадает с точкой С (1;-1) и прямая 
является касательной к окружности.
Решение: уравнение 
определяет окружность радиуса 
с центром 
.
a) Чтобы найти центр окружности найдем середину отрезка АВ, который по условию является диаметром.
О: 
и 
. Т.е. координаты центра окружности будут О(2;4).
Теперь найдем радиус окружности АО: 
.
Т.о. уравнение окружности запишется следующим образом: 
b) Чтобы найти радиус окружности, вычислим расстояние от центра окружности до касательной. 
Т.о. уравнение окружности запишется следующим образом: 
2. Определить уравнение линии центров двух окружностей, заданных уравнениями: 
и 
.
Решение: из уравнений найдем координаты центров окружностей: 
и 
. Теперь напишем уравнение прямой, проходящей через две точки:
, 
Ответ: 
.
3. Составить уравнение диаметра окружности 
, перпендикулярного к прямой 
.
Решение: преобразуем уравнение окружности: 
Из этого уравнения найдем центр О(-2;3).
Теперь составим уравнение прямой проходящей через точку О и перпендикулярную прямой . Коэффициент 
, 
, 
, т.е. 
,
Ответ:
4. Определить, как расположена прямая относительно окружности (пересекает, касается или проходит вне ее), если прямая и окружность заданы следующими уравнениями:
a) 
и 
Решение: Преобразуем уравнение окружности 
Радиус равен 
. Центр окружности О (1,5;-1).
Найдем расстояние от центра окружности до прямой и сравним с радиусом. 
, т.е. прямая пересекает окружность.
b) 
и 
Решение: Преобразуем уравнение окружности 
Радиус равен 
. Центр окружности О (4;-1).
Найдем расстояние от центра окружности до прямой 
и сравним с радиусом. 
, т.е. прямая является касательной к окружности.
c) 
и 
Решение: 
. Радиус равен 
. Центр окружности О (0;0).
Найдем расстояние от центра окружности до прямой 
и сравним с радиусом. 
, т.е. прямая проходит вне окружности.
5. Дан эллипс 
. Найти его 1) полуоси; 2) фокусы; 3) эксцентриситет; 4) уравнения директрис.
Решение: приведем данное уравнение к каноническому виду: 
. Для этого разделим уравнение на 225: 
.
1) полуоси равны 
и 
;
2) расстояние между фокусами равно 2с, т.е. чтобы найти координаты фокусов надо найти с: 
. 
и 
.
3) Эксцентриситет равен 
, 
4) Т.к. 
, директрисы определяются уравнениями: 
, т.е. 
6. Вычислить площадь четырехугольника, две вершины которого лежат в фокусах эллипса 
, а две другие совпадают с концами его малой оси.
Решение:
Приведем уравнение эллипса к каноническому виду: 
.
Т.е. фокусы имеют координаты: и . Фокусы находятся на одинаковом расстоянии от начала координат. Малая ось равна 
, т.е. 
.
ОА=ОВ, отсюда делаем вывод, что четырехугольник 
есть ромб. А(0;2) и
В(0;-2).
. Зная координаты точек ромба видим, что 
, а 
. Подставим найденные значения в формулу и получим: 
кв. ед.
Ответ: 16 кв. ед.
7. Дана точка 
на эллипсе 
; составить уравнения прямых, на которых лежат фокальные радиусы точки 
.
Решение: фокальные радиусы есть отрезки 
и 
. Чтобы найти уравнения прямых, содержащих фокальные радиусы, достаточно найти координаты фокусов и по формулам найти искомые уравнения. 
. Т.е. фокусы имеют координаты: 
и 
.
Ответ: 
и 
8. Найти точки пересечения прямой 
и эллипса 
.
Решение: решим систему уравнений: 
, 
, 
.
Ответ: 
и 
9. Дана гипербола 
. Найти 1) полуоси, 2) фокусы; 3) эксцентриситет; 4) уравнения асимптот; 5) уравнения директрис.
Решение: запишем уравнение гиперболы в каноническом виде, т.е. в виде формулы 
.
.
1) 
и 
;
2) 
; т.е. фокусы имеют координаты 
и 
3) , 
;
4) 
, 
;
5) , 
10. Эксцентриситет гиперболы 
, расстояние от точки М гиперболы до директрисы равно 4. Вычислить расстояние от точки М и до фокуса, одностороннего с этой директрисой.
Решение: Каждая директриса обладает следующим свойством: если 
– расстояние от произвольной точки гиперболы до некоторого фокуса, 
– расстояние от той же точки до односторонней с этим фокусом директрисы, то отношение 
есть постоянная величина, равная эксцентриситету гиперболы: 
.
Отсюда 
, т.е. 
Ответ: 12.
11. Составить уравнение гиперболы, если известны ее эксцентриситет 
, фокус 
и уравнение соответствующей директрисы 
Решение: (1), а из выведем: 
.
В то же время (2). т.к. фокус имеет координаты , то 
(3). Из (2) и (3) выводим, что 
. Найдем 
.
Теперь запишем каноническое уравнение гиперболы: 
12. Определить величину параметра и расположение относительно координатных осей следующих парабол:
1) 
; 2) 
.
Решение: запишем каноническое уравнение параболы: 
или 
.
1) распишем так: 
. Отсюда 
. Параметр 
положительный, следовательно парабола располагается в верхней полуплоскости, относительно оси ОХ.
2) распишем так: 
, отсюда 
. Параметр положительный, следовательно парабола располагается в верхней полуплоскости, относительно оси ОУ.
13. Вычислить фокальный радиус точки М параболы 
, если абсцисса точки М равна 7.
Решение: фокальный радиус произвольной точки 
параболы может быть вычислен по формуле: 
.
Из найдем : 
, т.е. 
.
Ответ: 12
14. Определить точки пересечения прямой 
и параболы 
.
Решение: решим систему уравнений.
, 
, 
Ответ: (-6;9) и (2;1).
Литература: [12], [13], [16]
Практическое занятие № 12
Тема: Различные способы задания плоскости.
1. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М(2;1;-1) и имеет нормальный вектор 
Решение: Уравнение 
определяет плоскость, проходящую через точку 
и имеющую нормальный вектор 
.
Т.о. 
2. Даны две точки 
и 
. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору 
.
Решение: Общее уравнение плоскости имеет вид: 
найдем координаты вектора 
Задача свелась к составлению уравнения плоскости, проходящей через точку и имеющей нормальный вектор:
3. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку 
параллельно двум векторам 
и 
.
Решение: Уравнение плоскости, которая проходит через точку 
параллельно двум векторам записывается в следующем виде: 
.
Т.о. 
4. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точки 
и 
параллельно вектору 
Решение: Уравнение плоскости, которая проходит через две точки и 
параллельно вектору записывается в следующем виде: 
.
5. Составить уравнение плоскости, которая проходит через три точки , 
и 
.
Решение: Уравнение плоскости, которая проходит через три точки , и 
записывается в следующем виде: 
.
6. Установить, какие из следующих пар следующих пар уравнений определяют параллельные плоскости.
Решение: Условие параллельности двух плоскостей 
.
1) 
, 
плоскости параллельны.
2) 
, 
плоскости не параллельны.
3) 
, 
плоскости параллельны.
7. Установить, какие из следующих пар следующих пар уравнений определяют перпендикулярные плоскости.
Решение: Условие перпендикулярности двух плоскостей 
1) 
, 
плоскости перпендикулярные.
2) 
, 
плоскости перпендикулярные.
3) 
, 
плоскости не перпендикулярные.
8. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку 
перпендикулярно к плоскостям: 
и 
.
Решение: 
9. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку 
параллельно к плоскости: 
.
Решение: Условие параллельности двух плоскостей , т.е.
10. Дано уравнение плоскости 
. Написать для нее уравнение «в отрезках».
Решение: Данное уравнение является общим уравнением прямой: . Уравнение «в отрезках» имеет вид: 
, где 
, 
, 
.
, 
, 
Т.о. уравнение «в отрезках» будет иметь вид: 
.
11. Найти отрезки, отсекаемые плоскостью 
на координатных осях.
Решение: , , есть величины отрезков, которые плоскость отсекает на координатных осях (считая каждый от начала координат).
, 
, 
12. Привести к нормальному виду общее уравнение плоскости:
1) 
2) 
Решение: общее уравнение плоскости приводится к нормальной форме следующим образом: / 
Если 
положительно, то перед корнем ставим знак «-», и наоборот.
1) 
берем положительный знак, т.к. число отрицательное.
2) 
. Берем отрицательный знак, т.к. число положительное.
.
13. Составить уравнение прямой:
1) Проходящей через две точки 
и 
2) Если дана точка, принадлежащая прямой и направляющий вектор.
и 
- каноническое уравнение.
14. Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точку 
параллельно:
1) вектору 
Параметрические уравнение прямой имеют вид: 
Т.о. 
2) параллельно прямой 
.
3) параллельно прямой 
15. Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через две данные точки 
и 
.
Решение: 
Литература: [12], [13], [16]
Практическое занятие № 13-14
Тема: Различные способы задания прямой линии и связь между ними.Поверхности вращения.
1. Показать, что плоскости 
, 
, 
пересекаются в одной точке. Найти ее координаты.
Решение:
Ответ: (2;1;1)
2. Вычислить расстояние от точки 
до плоскости, проходящей через точки 
, 
и 
.
Решение: расстояние от точки до плоскости вычисляется по формуле: 
Найдем уравнение плоскости : 
Ответ: 4.
3. Определить двухгранный угол между следующими плоскостями:
1) 
и 
.
Решение: 
2) 
.
4. Установить расположение плоскости 
относительно сферы в каждом из следующих случаев:
a) 
Решение: из уравнения сферы находим координаты центра сферы, затем находим расстояние от точки до плоскости и сравниваем с радиусом сферы.
С(3;-3;3)
, плоскость является касательной к сфере.
b) 
Решение: С(-1;-2;11)
Внутри окружности
Литература: [12], [13], [16]
Практическое занятие № 15
Тема: Эллипсоид. Гиперболоиды. Параболоиды
Составить уравнение сферы, если:
1) Сфера проходит через точку А(2;-1;-3) и имеет центр С(3;-2;1).
Решение: В декартовых координатах сфера, имеющая центр 
и радиус , определяется уравнением 
. Чтобы найти радиус сферы, вычислим длину отрезка АС по формуле: 
Уравнение сферы запишется в виде: 
2) Сфера имеет центр С(3;-5;-2) и плоскость 
является касательной к сфере.
Решение: чтобы найти радиус сферы вычислим расстояние от точки С до плоскости .
Уравнение сферы запишется в виде: 
2. Составить уравнение сферы радиуса 
, касающейся плоскости 
в точке 
.
Решение: Расстояние от центра сферы до плоскости равно
Возьмем точку , 
Уравнение сферы запишется в виде: 
3. Установить как расположена точка А(2;-1;3) относительно каждой из следующих сфер (внутри нее, вне или на поверхности сферы):
1) 
Из уравнения видно, что радиус 
, центр сферы С(3;-1;1). Чтобы определить положение точки относительно сферы, вычислим расстояние от нее до центра и сравним с величиной радиуса.
АС: 
, значит, точка находится вне сферы.
2) 
Из уравнения видно, что радиус 
, центр сферы С(-14;11;-12). Чтобы определить положение точки относительно сферы, вычислим расстояние от нее до центра и сравним с величиной радиуса.
АС: 