Дифференциальные уравнения

 

ЗАДАНИЕ N 5 сообщить об ошибке
Тема: Типы дифференциальных уравнений
Уравнение является …

			уравнением с разделяющимися переменными
			линейным неоднородным дифференциальным уравнением 2-го порядка
			однородным относительно и дифференциальным уравнением первого порядка
			уравнением Бернулли

 

Решение:
Данное уравнение можно представить в виде .
Откуда .
Следовательно, это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными.

 

ЗАДАНИЕ N 10 сообщить об ошибке
Тема: Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка
Интегральная кривая уравнения проходящая через точку имеет вид …

 

Решение:
Запишем уравнение в виде Проинтегрировав обе части уравнения, получим: где Для вычисления значения C подставим в найденное решение координаты точки
Тогда 4 = 2C и C = 2. Следовательно, уравнение кривой имеет вид

 

ЗАДАНИЕ N 7 сообщить об ошибке
Тема: Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Общее решение дифференциального уравнения имеет вид …

			,
			,
			,
			,

 

Решение:
Разделим переменные в исходном уравнении и проинтегрируем обе части последнего равенства: . Тогда , где постоянная интегрирования . Откуда , .

 

ЗАДАНИЕ N 8 сообщить об ошибке
Тема: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид …

 

Решение:
Составим характеристическое уравнение и решим его: . Тогда общее решение исходного уравнения примет вид: .

 

ЗАДАНИЕ N 11 сообщить об ошибке
Тема: Однородные дифференциальные уравнения
Общее решение дифференциального уравнения имеет вид …

			, где
			где
			где
			где

 

Решение:
Запишем уравнение в виде Сделаем замену
Тогда и уравнение примет вид:
Разделив переменные, получим:
Проинтегрируем обе части последнего уравнения: где
Тогда Сделаем обратную замену:

 

ЗАДАНИЕ N 14 сообщить об ошибке
Тема: Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Общее решение дифференциального уравнения имеет вид …

			,
			,
			,
			,

 

Решение:
Разделим переменные в исходном уравнении и проинтегрируем обе части последнего равенства: . Тогда , где постоянная интегрирования . Откуда , .

 

ЗАДАНИЕ N 15 сообщить об ошибке
Тема: Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка
Функция является общим решением дифференциального уравнения 1-го порядка. Тогда для начального условия частное решение этого уравнения имеет вид …

 

Решение:
Подставив в общее решение начальное условие , то есть , получим значение .
Следовательно, искомое частное решение имеет вид .

 

ЗАДАНИЕ N 16 сообщить об ошибке
Тема: Типы дифференциальных уравнений
Уравнение является …

			уравнением с разделяющимися переменными
			линейным дифференциальным уравнением 1-го порядка
			однородным относительно и дифференциальным уравнением первого порядка
			уравнением Бернулли

 

Решение:
Данное уравнение можно представить в виде .
Откуда .
Следовательно, это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными.

 

 

ЗАДАНИЕ N 12 сообщить об ошибке
Тема: Типы дифференциальных уравнений
Уравнение является …

			однородным относительно x и y дифференциальным уравнением первого порядка
			линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка
			уравнением Бернулли
			дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными

 

Решение:
В уравнении функция является однородной относительно и функцией нулевого порядка.
Действительно,
Поэтому данное уравнение является однородным относительно x и y дифференциальным уравнением первого порядка.

 

ЗАДАНИЕ N 27 сообщить об ошибке
Тема: Типы дифференциальных уравнений
Уравнение является …

			линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами
			линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами
			уравнением Бернулли
			дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными

 

Решение:
Уравнение можно представить в виде , где и – числа. Поэтому данное уравнение является линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

 

ЗАДАНИЕ N 28 сообщить об ошибке
Тема: Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка
Решение задачи Коши , имеет вид …

 

Решение:
Проинтегрировав обе части уравнения, получим: . Тогда общее решение исходного уравнения имеет вид .
Для вычисления значения подставим в найденное общее решение начальное условие . Тогда и .
Следовательно, частное решение имеет вид .

 

Теория вероятностей

 

ЗАДАНИЕ N 25 сообщить об ошибке
Тема: Полная вероятность. Формулы Байеса
Собирается партия исправных изделий с двух предприятий. Первое предприятие поставляет 30% всех изделий, а второе – 70%. Вероятность исправной работы изделия первого предприятия равна 0,8, второго – 0,7. Тогда вероятность того, что случайно взятое изделие будет неисправным, равна …

 

Решение:
Для вычисления вероятности события A (случайно взятое изделие будет неисправным) применим формулу полной вероятности: . Здесь – вероятность того, что изделие изготовлено первым предприятием; – вероятность того, что изделие изготовлено вторым предприятием; – условная вероятность того, что случайно взятое изделие будет неисправным, если оно изготовлено на первом предприятии; – условная вероятность того, что случайно взятое изделие будет неисправным, если оно изготовлено на втором предприятии.
Тогда

 

ЗАДАНИЕ N 26 сообщить об ошибке
Тема: Определение вероятности
После бури на участке между 50-ым и 70-ым километрами высоковольтной линии электропередач произошел обрыв проводов. Тогда вероятность того, что авария произошла между 60-ым и 63-им километрами, равна …

 

Решение:
Для вычисления вероятности искомого события применим геометрическое определение вероятности и воспользуемся формулой , где , а . Тогда

 

ЗАДАНИЕ N 27 сообщить об ошибке
Тема: Законы распределения вероятностей непрерывных случайных величин
Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения вероятностей:

Тогда значение параметра равно …

 

Решение:
Так как , то , или . Тогда
и .

 

ЗАДАНИЕ N 28 сообщить об ошибке
Тема: Числовые характеристики случайных величин
Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения вероятностей:

Тогда ее математическое ожидание равно …

 

Решение:
Воспользуемся формулой . Тогда

 

ЗАДАНИЕ N 33 сообщить об ошибке
Тема: Полная вероятность. Формулы Байеса
В первой урне 7 черных и 3 белых шара. Во второй урне 4 черных и 6 белых шаров. Из наудачу взятой урны вытаскивается один шар, который оказался белым. Тогда вероятность того, что этот шар был вынут из первой урны, равна …

 

Решение:
Предварительно вычислим вероятность события A (вынутый наудачу шар – белый) по формуле полной вероятности: . Здесь – вероятность того, что шар извлечен из первой урны; – вероятность того, что шар извлечен из второй урны; – условная вероятность того, что вынутый шар белый, если из он извлечен из первой урны; – условная вероятность того, что вынутый шар белый, если из он извлечен из второй урны.
Тогда
Теперь вычислим условную вероятность того, что этот шар был извлечен из первой урны, по формуле Байеса:

 

ЗАДАНИЕ N 34 сообщить об ошибке
Тема: Законы распределения вероятностей непрерывных случайных величин
Дан график плотности распределения вероятностей непрерывной случайной величины :

Тогда график ее функции распределения вероятностей имеет вид …

 

Решение:
Функция распределения вероятностей непрерывной случайной величины вычисляется по формуле .
Тогда:
если , то , следовательно ;
если , то ;
если , то
Тогда график будет иметь вид:

 

ЗАДАНИЕ N 35 сообщить об ошибке
Тема: Определение вероятности
Игральная кость бросается один раз. Тогда вероятность того, что число очков, выпавших на верхней грани, будет меньше трех, равна …

 

Решение:
Для вычисления события (число очков, выпавших на верхней грани, будет меньше трех) воспользуемся формулой , где – общее число возможных элементарных исходов испытания, а m – число элементарных исходов, благоприятствующих появлению события A. В нашем случае возможны элементарных исходов испытания, из которых благоприятствующими являются исходы вида или , то есть . Следовательно, .

 

ЗАДАНИЕ N 19 сообщить об ошибке
Тема: Числовые характеристики случайных величин
Случайная величина X распределена по показательному закону с плотностью распределения вероятностей Тогда ее математическое ожидание и дисперсия равны …

 

Решение:
Плотность распределения вероятностей случайной величины X, распределенной по показательному закону, имеет вид и математическое ожидание и дисперсия равны соответственно:
Тогда и

 

 

ЗАДАНИЕ N 21 сообщить об ошибке
Тема: Числовые характеристики случайных величин
Дискретная случайная величина X задана законом распределения вероятностей:

Тогда ее математическое ожидание равно …

			2,1
			0,9
			3,3
			2,2

 

Решение:
Математическое ожидание дискретной случайной величины вычисляется по формуле . Тогда

 

ЗАДАНИЕ N 22 сообщить об ошибке
Тема: Определение вероятности
Игральная кость бросается один раз. Тогда вероятность того, что число очков, выпавших на верхней грани, будет меньше трех, равна …

 

Решение:
Для вычисления события (число очков, выпавших на верхней грани, будет меньше трех) воспользуемся формулой , где – общее число возможных элементарных исходов испытания, а m – число элементарных исходов, благоприятствующих появлению события A. В нашем случае возможны элементарных исходов испытания, из которых благоприятствующими являются исходы вида или , то есть . Следовательно, .

 

ЗАДАНИЕ N 23 сообщить об ошибке
Тема: Законы распределения вероятностей непрерывных случайных величин
Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения вероятностей:

Тогда вероятность равна …

 

Решение:
Воспользуемся формулой . Тогда

 

ЗАДАНИЕ N 24 сообщить об ошибке
Тема: Полная вероятность. Формулы Байеса
В первой урне 7 черных и 3 белых шара. Во второй урне 4 черных и 6 белых шаров. Из наудачу взятой урны вытаскивается один шар, который оказался белым. Тогда вероятность того, что этот шар был вынут из первой урны, равна …

 

Решение:
Предварительно вычислим вероятность события A (вынутый наудачу шар – белый) по формуле полной вероятности: . Здесь – вероятность того, что шар извлечен из первой урны; – вероятность того, что шар извлечен из второй урны; – условная вероятность того, что вынутый шар белый, если из он извлечен из первой урны; – условная вероятность того, что вынутый шар белый, если из он извлечен из второй урны.
Тогда
Теперь вычислим условную вероятность того, что этот шар был извлечен из первой урны, по формуле Байеса:

 

ЗАДАНИЕ N 20 сообщить об ошибке
Тема: Законы распределения вероятностей дискретных случайных величин
Среднее число самолетов, прибывающих в аэропорт за 1 мин, равно двум. Тогда вероятность того, что за четыре минуты прибудут ровно шесть самолетов, можно вычислить как …

 

Решение:
Вероятность наступления k событий простейшего потока за время t, определяется формулой Пуассона:
где – интенсивность потока.
Тогда, так как то

 

Математическая статистика

 

ЗАДАНИЕ N 34 сообщить об ошибке
Тема: Характеристики вариационного ряда
Мода вариационного ряда 1, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 7, 7, 8, 9 равна …

 

Решение:
Модой вариационного ряда называется варианта, имеющая наибольшую частоту. Такой вариантой является варианта , частота которой равна трем.

 

ЗАДАНИЕ N 26 сообщить об ошибке
Тема: Интервальные оценки параметров распределения
Дан доверительный интервал (25,44; 26,98) для оценки математического ожидания нормально распределенного количественного признака. Тогда при увеличении надежности (доверительной вероятности) оценки доверительный интервал может принять вид …

			(24,04; 28,38)
			(25,74; 26,68)
			(24,04; 26,98)
			(24,14; 28,38)

 

Решение:
Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормально распределенного количественного признака можно представить в виде симметричного интервала где точечная оценка математического ожидания а точность оценки В случае увеличения надежности точность оценки ухудшается, то есть значение будет больше 0,77.

 

ЗАДАНИЕ N 35 сообщить об ошибке
Тема: Интервальные оценки параметров распределения
Дан доверительный интервал для оценки математического ожидания нормально распределенного количественного признака. Тогда точность этой оценки равна …

 

Решение:
Точность интервальной оценки определяется как , то есть

 

ЗАДАНИЕ N 36 сообщить об ошибке
Тема: Проверка статистических гипотез
Основная гипотеза имеет вид . Тогда конкурирующей может являться гипотеза …

 

Решение:
Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезу, которая противоречит основной гипотезе. Условию противоречит .

 

ЗАДАНИЕ N 37 сообщить об ошибке
Тема: Точечные оценки параметров распределения
В результате измерений некоторой физической величины одним прибором (без систематических ошибок) получены следующие результаты (в мм): 10, 12, 14. Тогда выборочная дисперсия равна …

 

Решение:
Выборочная дисперсия вычисляется по формуле
, где . Вычислив предварительно , получаем

 

ЗАДАНИЕ N 27 сообщить об ошибке
Тема: Проверка статистических гипотез
Для проверки нулевой гипотезы при заданном уровне значимости выдвинута конкурирующая гипотеза . Тогда область принятия гипотезы может иметь вид …

 

Решение:
Область принятия гипотезы в данном случае определяется соотношением вида . Таким соотношением является, например .

 

ЗАДАНИЕ N 28 сообщить об ошибке
Тема: Элементы корреляционного анализа
Выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на X имеет вид Тогда выборочный коэффициент корреляции может быть равен …

			– 0,67
			– 1,6
			0,74
			1,6

 

Решение:
Значение выборочного коэффициента корреляции, во-первых, принадлежит промежутку а во-вторых, его знак совпадает со знаком выборочного коэффициента регрессии. Этим условиям удовлетворяет значение

ЗАДАНИЕ N 40 сообщить об ошибке
Тема: Характеристики вариационного ряда
Медиана вариационного ряда 2, 3, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12 равна …

 

Решение:
Медианой вариационного ряда называется значение признака генеральной совокупности, приходящееся на середину вариационного ряда. В данном случае это варианта, расположенная в середине вариационного ряда. В середине данного ряда располагается варианта 5.

 

 

ЗАДАНИЕ N 29 сообщить об ошибке
Тема: Проверка статистических гипотез
Основная гипотеза имеет вид . Тогда конкурирующей может являться гипотеза …

 

Решение:
Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезу, которая противоречит основной гипотезе. Условию противоречит .

 

ЗАДАНИЕ N 30 сообщить об ошибке
Тема: Характеристики вариационного ряда
Мода вариационного ряда 1, 2, 2, 3, 4, 4, , 7, 7, 8, 9 равна 4. Тогда значение равно …

 

Решение:
Модой вариационного ряда называется варианта, имеющая наибольшую частоту. Если модой является варианта, равная 4, то ее частота должна быть больше двух. Следовательно, , и частота этой варианты будет тогда равна трем.

 

ЗАДАНИЕ N 31 сообщить об ошибке
Тема: Интервальные оценки параметров распределения
Дан доверительный интервал для оценки математического ожидания нормально распределенного количественного признака. Тогда точечная оценка математического ожидания равна …

 

Решение:
Интервальная оценка математического ожидания нормально распределенного количественного признака представляет собой интервал, симметричный относительно точечной оценки. Тогда точечная оценка будет равна