Функции многих переменных. Предел и непрерывность ФМП

Глава 2 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Лекция 2 ФНП, предел, непрерывность,
частные производные и дифференциал

Что главное мы узнали на прошлой лекции

Были изучены несобственные интегралы с неограниченной областью интегрирования и неограниченными функциями.

Что мы узнаем на этой лекции

Мы приступим к изучению функций, зависящих от нескольких аргументов. Выясним, что понимается под аргументом ФНП как такие понятия, как предел, непрерывность, производная вводятся для ФНП.

Евклидово пространство

Вспомним некоторые важные понятия, изученные в 1 семестре. Мы познакомились с векторами на плоскости и в пространстве. Векторы на плоскости обладают рядом важных свойств. Для них введены операции сложения векторов и умножения вектора на число. Результатом этих операций являются вектора на плоскости, причем справедливы следующие 8 свойств: 1) - коммутативность, 2) - ассоциативность, 3) - существование нулевого элемента, 4) существование противоположного элемента , 5) ,
6) дистрибутивность для числовых коэффициентов,
7) - дистрибутивность для векторов, 8) .

Определение 1. Множество элементов произвольной природы называется векторным пространством или линейным векторным пространством, если для этих элементов введены операции сложения и умножения на действительное число, причем для этих операций справедливы 8 свойств, указанных для операций с геометрическими векторами.

Пусть заданы векторы , ,…, векторного пространства и числа , ,…, . Величина (1)

называется линейной комбинацией заданных векторов , ,…, . При этом числа , ,…, называются коэффициентами линейной комбинации (1). Очевидно, что линейная комбинация векторов равна (нулевому вектору), если все коэффициенты линейной комбинации равны 0.

Определение 2. Система векторов , ,…, называется линейно независимой системой векторов, если из равенства ее линейной комбинации следует, что все коэффициенты этой линейной комбинации равны 0.

Определение 3. Линейно независимая система векторов линейного векторного пространства , ,…, называется базисом этого векторного пространства, если каждый его вектор является линейной комбинацией векторов , ,…, . При этом коэффициенты этой линейной комбинации определяются однозначно и называются координатами вектора в этом базисе.

Мы знаем, что для геометрических векторов справедливы следующие свойства скалярного произведения:

1) , 2) ,

3) , 4) , .

Определение 4. Пусть в линейном векторном пространстве введена операция, ставящая в соответствие двум векторам число. Такое соответствие, удовлетворяющее условиям 1) – 4) называется скалярным произведением векторов и обозначается символом или .

Определение 5. Линейное векторное пространство с введенным скалярным произведением называется евклидовым пространством .

Можно доказать, что элементов базиса линейного векторного пространства не зависит от выбора базиса. Это число и называется размерностью такого пространства. Линейное пространство может быть бесконечно мерным.

Отметим, что -мерные векторные и евклидовы пространства обозначаются соответственно символами и .

Мы знаем, что наиболее удобными базисами на плоскости и в пространстве являются системы взаимно перпендикулярных векторов единичной длины. Евклидовы пространства замечательны тем, что при наличии произвольного базиса из векторов можно с помощью разрешенных линейных операций создать ортонормированный базис.

Определение 6. Базис в евклидовом линейного векторного пространства , ,…, называется ортонормированным базисом, если

Функции многих переменных. Предел и непрерывность ФМП

Под функцией мы понимаем отображение одного множества на другое. До сих пор мы рассматривали функцию вида , которая реализовывала отображение множества на оси абсцисс (область определения функции) на множество на оси ординат (множество значений функции ).

Под функцией нескольких переменных мы будем понимать отображение множества в -мерном евклидовом пространстве (область определения функции) на множество на оси (множество значений функции). Тем самым функция нескольких переменных может быть записана в виде , где - элемент евклидова пространства. Можно использовать запись .

Изучая функцию одной переменной , мы изучали числовые последовательности, предел числовой последовательности, предел функции, непрерывность функции, точки экстремума функции.

Наша цель – построить и изучить аналогичную теорию для ФМП. Этот раздел посвящен вопросам, связанным с пределами и непрерывностью функций.

Давайте вспомним, что такое предел функции одной переменной. Предел функции (по Коши) при , стремящимся к , равен , если для каждого, сколь угодно малого положительного числа найдется положительное число , обладающее следующим свойством. Если расстояние от точки до не равной ей точки меньше , то модуль разности чисел и меньше наперед заданного числа ( ).

Для того, чтобы дать это и аналогичные определения для ФМП, надо ввести расстояние между точками – аргументами ФНП (=ФМП). Это делают следующим образом. Пусть начало координат с ортонормированным базисом находится в точке и заданы две точки и . Рассмотрим векторы , и определим скалярное произведение этих векторов формулой . Несложно проверить, что все свойства скалярного произведения выполнены. Именно так и принято вводить скалярное произведение в евклидовом пространстве.

При наличии скалярного произведения, которое гарантированно есть в евклидовом пространстве, можно ввести длину вектора и расстояние между точками евклидова пространства, что позволяет обобщить понятия предела последовательности, предела функции, непрерывности функции на случай ФНП.

Длиной вектора мы назовем квадратный корень из его скалярного квадрата, т. е. . Расстоянием между точками и равно длине вектора , их соединяющего, т. е. .

Заметим, что это определение обобщает обычное расстояние между точками на плоскости и в пространстве, известные нам из школы.

Пример 1. Расстояние между точками и на плоскости равно длине вектора , их соединяющего, т. е. . Расстояние между точками и в пространстве равно длине вектора , их соединяющего, т. е. .

Сформулируем определение предела для последовательности точек в евклидовом пространстве.

Определение 1. Пусть задана последовательность точек , ,…, ,…. Мы будем говорить, что число является пределом этой последовательности, т. е. , если для каждого, сколь угодно малого положительного числа найдется номер , зависящий от , такой что при выполнении условия выполнено условие . ( ).

Пример 2. Заметим, что условию удовлетворяют точки -окрестности точки . В одномерном случае для функции одной переменной окрестностью точки на оси является интервал длины . Для плоскости – пространства размерности 2 такой -окрестностью является внутренность круга радиуса . Для реально пространства – пространства размерности 3 такой -окрестностью является внутренность шара радиуса .

Сформулируем определение предела для ФНП.

Определение 2. Пусть задана функция переменных где - элемент евклидова пространства. Мы будем говорить, что число является пределом этой функции, т. е. , если для каждого, сколь угодно малого положительного числа найдется положительное число , обладающее следующим свойством. Если расстояние от точки до не равной ей точки меньше , то модуль разности чисел и меньше . Формально это записывается в виде: .

Это определение соответствует определению предела функции одной переменной по Коши, которое эквивалентно определению предела функции по Гейне. Формулировка определения предела функции по Гейне, которая сохраняется для функции нескольких переменных, заключается в записи . Смысл этого в том, что означает с учетом области определения, что из того, что предел последовательности аргументов равен , следует, что предел соответствующих значений функции равен .

Перейдем к определению непрерывности ФНП. Здесь полностью сохраняются формулировки определения непрерывности для функции одной переменной. Функция непрерывна в точке, если предел функции при подходе к этой точке равен значению функции в этой точке. Запишем это формально.

Определение 3. Пусть задана функция переменных где - элемент евклидова пространства. Мы будем говорить, что функция непрерывна в точке , если .

Соответственно функция непрерывна на множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Пример 3. Найдите пределы функций: а) , б) и исследуйте функции в) , г) на непрерывность.

Решение. Докажем, что не существует. В самом деле, пусть мы приближаемся к предельной точке по прямой . На этой прямой значение функции равно , т. е. во всех точках, кроме предельной, равно . Эта величина зависит от , следовательно, не существует.