Функции покупательского спроса
Функциями покупательского спроса называются функции, отражающие зависимость объема спроса на отдельные товары и услуги от комплекса факторов, влияющих на него. Такие функции применяются в аналитических моделях спроса и потребления и строятся на основе информации о структуре доходов населения, о ценах на товары, составе семей и других факторах.
Оптимальный набор потребителя 
зависит, прежде всего, от изменения цен на блага и бюджета потребителя.
Пусть в модели (1) цены и доход рассматриваются как меняющиеся параметры. Переменную дохода будем обозначать Z. Тогда решением оптимизационной задачи (1) будет векторная функция
,
компонентами которой являются функции спроса на определенный товар от цен и дохода:
.
Рассмотрим частный случай, когда вектор цен остается неизменным, а изменяется только доход. Для двух товаров этот случай представлен на рисунке 1.
Рисунок 1. Векторная функция спроса от дохода при заданном векторе цен
При увеличении дохода бюджетные линии перемещаются параллельно самим себе, удаляясь от начала координат. Вместе с ними перемещаются соответствующие кривые безразличия. Точками оптимума спроса потребителей для соответствующих размеров дохода будут точки касания 
. Кривая, соединяющая точки 
является графическим отображением векторной функции спроса от дохода при заданном векторе цен.
Однофакторные функции спроса от дохода широко применяются при анализе покупательского спроса. Соответствующие этим функциям кривые 
называются кривым Энгеля (по имени изучавшего их немецкого (прусского) экономиста). Формы этих кривых для различных товаров могут быть различны:
- если спрос на товар возрастает примерно пропорционально доходу (например, спрос на одежду, фрукты и т.п. – нормальные товары), то функция будет близка к линейной (рисунок 2, а);
- если по мере роста дохода спрос на данную группу товаров возрастает все более высокими темпами (например, спрос на предметы роскоши), то кривая Энгеля будет выпуклой (рисунок 2, б);
- если рост значений спроса, начиная с определенного момента, по мере насыщения спроса отстает от роста дохода (например, спрос на товары первой необходимости), то кривая Энгеля имеет вид вогнутой кривой (рисунок 2, в).
Рисунок 2. Кривые Энгеля для разных групп товаров
Благо называется ценным, если при увеличении бюджета (дохода) спрос на него увеличивается, т.е.
,
и малоценным – в противном случае.
Примером малоценных товаров могут быть некачественные товары.
В [2, стр. 236] доказана теорема, что из имеющегося набора благ существует хотя бы одно ценное благо.
Важную роль в анализе изменения спроса при небольших изменениях дохода играют коэффициенты эластичности. Коэффициент эластичности спроса от дохода
показывает относительное изменение спроса при изменении дохода (при прочих не изменяющихся факторах).
Во многих экономико-математических моделях эластичность функций относят к проценту прироста независимой переменной. В этом случае эластичность показывает, насколько процентов изменится спрос на товар при изменении дохода на 1 %.
В зависимости от величины коэффициента эластичности спроса от дохода принято выделять четыре группы товаров:
- малоценные товары 
;
- товары с малой эластичностью 
;
- товары со средней эластичностью 
;
- товары с высокой эластичностью 
.
К малоценным товарам, т.е. товарам с отрицательной эластичностью спроса от дохода, относятся такие, как хлеб, низкосортные товары. По результатам обследований, коэффициенты эластичности для основных продуктов питания находятся в интервале от 0,4 до 0,8; по одежде, тканям, обуви – в интервале от 1,1 до 1,3 и т.д. По мере увеличения дохода спрос перемещается с товаров первой и второй групп на товары третьей и четвертой групп, при этом потребление товаров первой группы по абсолютным размерам сокращается.
Перейдем теперь к рассмотрению и анализу функций покупательского спроса от цен на товары. Из модели поведения потребителей (1) следует, что спрос на каждый товар в общем случае зависит от цен на все товары (вектора Р). Однако построить функцию общего вида 
очень сложно. Поэтому в практических исследованиях ограничиваются построением и анализом функций спроса для отдельных товаров в зависимости от изменения цен на этот же товар или группу взаимозаменяемых товаров 
.
Основным критерием функционирования предприятий и фирм, производящих тот или иной товар, является прибыль. Сформулируем экономико-математическую модель на максимум прибыли при указанной форме зависимости спроса от цены. Конечную прибыль П можно представить в виде
,
где С(у) – совокупные затраты на производство и реализацию продукции; при этом предполагается, что объем выпускаемой продукции целиком совпадает с объемом спроса у, т.е. отсутствует дефицит и затоваривание продукции.
Если известен вид функции спроса от цены 
, то получим:
. (1)
Тогда оптимизационная задача ставится следующим образом: определить значение цены 
, при котором прибыль П достигает своего максимума 
.
Эта задача решается классическими методами оптимизации. Вид функций 
и 
, а также их параметры могут быть определены методами математической статистики в результате обработки соответствующих статистических данных.
Рассмотрим случай, когда функция издержек С(у) является линейной и имеет вид
, (2)
где h – постоянная величина затрат, не зависящая от объема выпуска и спроса на продукцию, т.е. накладные расходы; v – удельные затраты на единицу продукции. Будем считать, что зависимость спроса от цены также является линейной
, (3)
где k – максимально возможный объем спроса, а э представляет собой некоторую условную эластичность спроса от цены; очевидно, что k>0, а э<0.
Подставляя (2), (3) в уравнение (1), после преобразований получим квадратичную функцию
,
график которой представляет собой параболу с ветвями, направленными вниз (рисунок 3).
Рисунок 3. Функция прибыли при линейных издержках и уравнении спроса
Как видно из графика функции П(р), существуют две «мертвые точки» 
и 
, в которых прибыль равна нулю. Таким образом, если установление оптимальной цены затруднено, то цена в любом случае должна лежать в интервале ( , ). Этим обеспечивается положительность величины прибыли от производства и реализации данного вида товара.
Представление зависимости спроса от цены в виде линейной функции (3) является весьма упрощенным, т.к. показатель эластичности спроса от цены здесь принимается равным постоянной величине э. Более соответствует действительности предположение о зависимости коэффициента эластичности спроса от цены от величины самой цены. Проведенные конкретные исследования, учитывающие эту зависимость, позволяют с большой долей вероятности принять зависимость спроса у от цены р в виде одной из S-образных убывающих кривых (рисунок 4).
Рисунок 4. S-образная зависимость спроса от цены
Для большинства товаров действует зависимость: чем выше цена, тем ниже спрос, и наоборот. В практических задачах изучения спроса важно различать действительное увеличение спроса, когда сама кривая сдвигается вверх и вправо (происходит переход с кривой I на кривую II, рисунок 5), и увеличение объема приобретаемых товаров в результате снижения цен при неизменной сумме затрат (переход т точки А к точке В по одной и той же кривой I).
Рисунок 5. Кривые спроса
Относительное изменение объема спроса при изменении цены данного товара или цен других связанных с ним товаров характеризует коэффициент эластичности спроса от цен. Это величина изменения проса в процентах при изменении цены на 1 %.
Для спроса 
на i-й товар относительно его собственной цены 
коэффициент эластичности вычисляется по формуле:
.
Значения коэффициентов эластичности спроса от цен практически всегда отрицательны. Однако по абсолютным значениям этих коэффициентов товары могут существенно различаться друг от друга. Их можно разделить на три группы:
1) товары с неэластичным спросом в отношении цены 
;
2) товары со средней эластичностью спроса от цены 
;
3) товары с высокой эластичностью спроса 
.
Влияние на спрос на какой-либо товар изменения цен на другие товары определяется с помощью перекрестного коэффициента эластичности:
.
По знаку перекрестных коэффициентов эластичности товары можно разделить на взаимозаменяемые и взаимодополняемые:
- если 
, то i-й товар заменяет в потреблении товар j, т.е. при увеличении цены на товар j спрос переключается на товар i; пример: продукты питания;
- если 
, то i-й товар в процессе потребления дополняет товар j, т.е. увеличение цены на товар j приводит к уменьшению спроса на товар i; пример: взаимодополняемые товары – автомобили и бензин.
Очевидно, что спрос во многом определяет стратегию и тактику организации производства и сбыта товаров и услуг. Учет спроса, обоснованное прогнозирование его на краткосрочную и долгосрочную перспективу – одна из важнейших задач служб маркетинга различных организаций и фирм.
В общем случае спрос определяется в виде функции
y = f (П, D, P, S, t),
где П – уровень производства (предложения) товаров и услуг;
D – уровень денежных доходов отдельных групп населения;
P – уровень и соотношение цен;
S – размер и состав семьи;
t – фактор времени, объединяющий в себе все естественные факторы, кроме демографических.
Наиболее простой подход к прогнозированию спроса на небольшой период времени связан с использованием структурных моделей спроса, которая основана на предположении о том, что для каждой экономической группы населения по статистическим бюджетным данным может быть рассчитана присущая ей структура потребления.
Второй вид моделей – конструктивные модели спроса. В их основе лежат уравнения, которые выражают очевидное равенство общего денежного расхода (потребления) и суммы произведений количеств потребляемых товаров на их цены:
,
где Z – объем потребления;
– размер потребления i-го блага;
– цена i-го блага.
Эти модели, называемые также моделями бюджетов потребителей, играют важную роль в планировании потребления. Одной из таких моделей является, например, всем известный прожиточный минимум.
Третий вид моделей планирования и прогнозирования спроса – аналитические модели спроса и потребления, которые строятся в виде уравнений, характеризующих зависимость потребления товаров и услуг от тех или иных факторов. Эти модели относятся к классу эконометрических моделей.
В заключение отметим, что функция полезности U=U(Y), построенная с учетом функций спроса , называется косвенной функцией полезности
.
Данная функция является возрастающей функцией от бюджета I и убывающей от цен на блага P, т.е.
.