Краткие указания к выполнению задания

 

2.2.1. Проработать раздел “Динамика материальной точки”, пользуясь конспектом лекций и рекомендуемыми учебниками
[1-4].

2.2.2. По условию задачи вычертить изогнутую трубу ABC. Изобразить груз D на каждом из участков AB и BC в произвольные моменты времени и приложить активные силы в соответствии с условием задачи.

2.2.3. Освободиться от действия связей (мысленно отбросить плоскость на которую опирается груз), изобразив нормальную реакцию на каждом из участков AB и BC.

2.2.4. Выбрать неподвижную систему координат на каждом из участков AB и BC, направив одну из осей вдоль соответствующего участка в сторону движения груза D, а другую – по нормали к этому участку. Начало системы координат выбрать в начале данного участка.

2.2.5. Составить дифференциальные движения груза на каждом из участков AB и BC, считая груз D материальной точкой.

2.2.6. Преобразовать дифференциальное уравнение движения груза на участке AB, понизив порядок производной (вместо второй производной координаты груза по времени записать производную проекцию скорости груза по времени)

.

2.2.7. Затем, если задана длина участка AB, то следует перейти от производной скорости груза по времени к производной скорости груза по координате, выполнив преобразование:

.

2.2.8. Разделить переменные в полученном дифференциальном уравнении.

2.2.9. Определить его решение с учетом начальных условий движения груза на участке АВ и определить скорость груза в конце этого участка. Начальную скорость груза на участке BC принять равной скорости его в конце участка АВ.

2.2.10. Преобразовать дифференциальное уравнение движения груза на участке BС, понизив порядок производной, так же как в п.п. 2.2.6, разделить переменные в полученном дифференциальном уравнении и определить его решение с учетом начальных условий движения на участке BС.

 

 

Таблица 2.1

Варианты числовых значений параметров задания №1

 

№ Вар. № Подвар. m, кг V0, м/c m, Нс/м n F, H a, град t, сек l, м  
 
1. 0,1 3sin(pt) -  
1,5 0,05 0,5cos(2t) -  
5,5 0,15 0,5t2+1 -  
7,5 0,2 2t+sin(pt) -  
2,4 0,1 5t2+2 -  
3,0 0,3 2sin(pt/2) 2,5 -  
2. 3,5 0,1 3sin(pt) -  
1,5 0,05 0,5cos(2t) -  
3,5 0,15 0,5t2+1 -  
4,5 0,2 2t+3t2 -  
5,4 0,1 5t2+2 -  
1,0 0,3 2sin(pt/2) -  
3. 5,5 0,1 3sin2(pt) -  
4,5 0,05 t+5cos(2t) -  
2,3 0,15 5t2+t3 -  
5,2 0,2 2t+0,5t2 -  
2,4 0,1 5t2+2t3 -  
3,0 0,3 sin(t)cos(t) -  
4. 0,1 0,5cos2(pt) -  
1,5 0,05 t2+5cos(2t) -  
0,15 sin(t)cos(t) -  
0,2 2sin(pt/2) -  
0,1 5sin2(t)+2t -  
0,3 2t+0,3t3 -  
                     
Продолжение табл. 2.1  
№ Вар. № Подвар. m, кг V0, м/c m, Нс/м n F, H a, град t, сек l, м  
 
5. 0,1 3sin(pt) -  
2,5 0,05 0,5cos(2t) -  
0,15 0,5t2+1 -  
0,2 2t+0,25t2 -  
2,4 0,1 5t2+2 -  
1,5 0,3 2sin(pt/2) -  
6. 0,1 3sin(pt) -  
3,5 0,05 0,5cos(2t) -  
0,15 0,5t2+1 -  
0,2 2t+sin(pt) -  
0,1 5t2+2 -  
0,3 2sin(pt/2) -  
7. 0,1 3sin(pt) -  
0,05 0,5cos(2t) 0.5 -  
0,15 0,5t2+1 1,5 -  
0,2 2t+cos(pt) -  
0,1 5t2+2 1,2 -  
0,3 2sin(pt/2) 0,8 -  
8. 0,1 3sin(pt) -  
0,05 0,5cos(2t) -  
0,15 0,5t2+1 -  
0,2 3t-sin(pt) -  
0,1 5t2+2 -  
0,3 2sin(pt/2) -  
                     
Продолжение табл. 2.1  
№ Вар. № Подвар. m, кг V0, м/c m, Нс/м n F, H a, град t, сек l, м  
 
9. 0,2 0,1 3sin(pt) -  
0,5 0,05 0,5cos(2t) -  
0,3 0,15 0,5t2+1 -  
0,2 0,2 2t-cos(pt) -  
0,4 0,1 5t2+2 -  
1,0 0,3 2sin(pt/2) -  
10. 0,2 0,1 3sin(pt) -  
0,5 0,05 0,5cos(2t) -  
0,3 0,15 0,5t2+1 -  
0,2 0,2 2t+sin2(pt) -  
0,4 0,1 5t2+2 -  
1,0 0,3 2sin(pt/2) -  
11. 0,2 0,1 3sin(pt) -  
0,5 0,05 0,5cos(2t) -  
0,3 0,15 0,5t2+1 -  
0,2 0,2 t+2cos(pt) -  
0,4 0,1 5t2+2 -  
1,0 0,3 2sin(pt/2) -  
12. 0,2 0,1 3sin(pt) -  
0,5 0,05 0,5cos(2t) -  
0,3 0,15 0,5t2+1 -  
0,2 0,2 t-2sin(pt) -  
0,4 0,1 5t2+2 -  
1,0 0,3 2sin(pt/2) -  
                     
Продолжение табл. 2.1  
№ Вар. № Подвар. m, кг V0, м/c m, Нс/м n F, H a, град t, сек l, м  
 
13. 0,1 3sin(pt) 1,3 -  
0,05 0,5cos(2t) -  
0,15 0,5t2+1 0,5 -  
0,2 2t+1/t 0,8 -  
0,1 5t2+2 -  
0,3 2sin(pt/2) -  
14. 0,1 3sin(pt) -  
0,05 0,5cos(2t) -  
0,15 0,5t2+1 -  
0,2 t+sin(pt/3) - 1,5  
9,5 0,1 5t2+2 -  
0,3 2sin(pt/2) -  
15. 0,1 3sin(pt) 0,3 -  
0,05 0,5cos(2t) 0,6 -  
0,15 0,5t2+1 0,5 -  
0,2 2t+t2 -  
0,1 5t2+2 -  
0,3 2sin(pt/2) 0,5 -  
16. 0,1 3sin(pt) - 2,5  
0,05 0,5cos(2t) - 3,5  
0,15 0,5t2+1 -  
0,2 2t+5/t -  
0,1 5t2+2 -  
0,3 2sin(pt/2) -  
                     
Продолжение табл. 2.1  
№ Вар. № Подвар. m, кг V0, м/c m, Нс/м n F, H a, град t, сек l, м  
 
17. 0,2 0,1 3sin(pt) -  
0,5 0,05 0,5cos(2t) -  
0,3 0,15 0,5t2+1 -  
0,2 0,2 t-sin(pt/2) -  
0,4 0,1 5t2+2 -  
1,0 0,3 2sin(pt/2) -  
18. 0,2 0,1 3sin(pt) -  
0,5 0,05 0,5cos(2t) -  
0,3 0,15 0,5t2+1 -  
0,2 0,2 2t+sin2(pt) -  
0,4 0,1 5t2+2 -  
1,0 0,3 2sin(pt/2) -  
19. 0,1 3sin(pt) 1,3 -  
0,05 0,5cos(2t) -  
0,15 0,5t2+1 0,5 -  
0,2 t-cos(pt/2) 1,6 -  
0,1 5t2+2 -  
0,3 2sin(pt/2) 0,5 -  
20. 0,1 3sin(pt) -  
0,05 0,5cos(2t) -  
0,15 0,5t2+1 -  
0,2 2t-0,1t3 -  
0,1 5t2+2 -  
0,3 2sin(pt/2) -  
                     
Продолжение табл. 2.1  
№ Вар. № Подвар. m, кг V0, м/c m, Нс/м n F, H a, град t, сек l, м
21. 1,2 0,1 3t+sin(pt) -
1,5 0,05 5cos2(t/2) -
0,15 0,5t2+3t3 -
0,2 2t+sin2(pt) 2,5 -
1,4 0,1 sin(t)cos(t) -
0,3 2+sin(pt/2) 1,5 -
22. 1,2 0,1 3sin(pt) -
1,5 0,05 0,5cos(2t) -
1,0 0,15 sin(t)cos(t) -
0,2 0,2t3-sin(t) -
0,1 t2+2sin2(t) -
1,0 0,3 2t+sin(pt/2) -
23. 0,2 0,1 3sin(pt) -
0,5 0,05 0,5cos(2t) -
0,3 0,15 0,5t2+1 -
0,2 0,2 3t+sin(pt) -
0,4 0,1 5t2+2 -
1,0 0,3 2sin(pt/2) -
24. 0,2 0,1 3sin(pt) -
0,5 0,05 0,5cos2(2t) -
0,3 0,15 0,5t2+1 -
0,2 0,2 t+sin(pt/2) -
0,4 0,1 5t2+2 -
1,0 0,3 2sin(pt/2) -
                   
Продолжение табл. 2.1  
№ Вар. № Подвар. m, кг V0, м/c m, Нс/м n F, H a, град t, сек l, м  
 
25. 1,2 0,1 3+sin(pt) -  
1,5 0,05 0,5cos(2t) -  
0,15 0,5t2+1 -  
0,2 t-5sin(pt) 1,5 -  
0,1 5t2+2 -  
0,3 2sin(pt/2) -  
26. 0,1 3sin(pt) -  
0,05 0,5cos(2t) -  
0,15 0,5t2+1 -  
0,2 t-cos(pt/6) -  
0,1 5t2+2 -  
0,3 2sin(pt/2) -  
27. 0,1 3sin(pt) -  
3,5 0,05 0,5cos(2t) -  
0,15 0,5t2+1 -  
0,2 t+cos(pt/6) -  
0,1 5t2+2 -  
1,0 0,3 2sin(pt/2) 2,5 -  
28. 0,1 3sin(pt) -  
0,05 0,5cos(2t) -  
9,5 0,15 0,5t2+1 -  
4,5 0,2 t+sin(3pt) -  
0,1 5t2+2 -  
0,3 2sin(pt/2) -  
                     
Окончание табл. 2.1  
№ Вар. № Подвар. m, кг V0, м/c m, Нс/м n F, H a, град t, сек l, м  
 
29. 0,1 3sin(pt)+2 -  
2,5 0,05 0,5cos(2t) -  
0,15 0,5t2+1 -  
0,2 2t+5t-2 2,5 -  
1,4 0,1 5t2+2 -  
0,3 2sin(pt/2) 3,5 -  
30. 0,2 0,1 3sin(pt) -  
0,5 0,05 0,5cos(2t) -  
0,3 0,15 0,5t2+1 -  
0,2 0,2 2t-6t-2 -  
0,4 0,1 5t2+2 -  
1,0 0,3 2sin(pt/2) -  
31. 2,2 0,1 3sin(pt) -  
2,5 0,05 0,5cos(2t) -  
3,5 0,15 0,5t2+1 -  
4,5 0,2 2t+sin(pt) 1,5 -  
0,1 5t2+2 -  
1,5 0,3 2sin(pt/2) -  
32. 0,1 3+sin(pt) -  
3,5 0,05 5cos(2t) -  
0,15 sin(t)cos(t) -  
2,2 0,2 2t2-3t -  
0,1 5t3+2 -  
0,3 2-sin(pt/2) -  

 

 

   

 

Рис. 2.1

 

 

 

 

Продолжение рис. 2.1

 

   

 

Продолжение рис. 2.1

 

 

 

Продолжение рис. 2.1

 

 

 
       

Окончание рис. 2.1

Пример выполнения задания

 

2.3.1. Условие примера

На участке трубы AB на груз D действует постоянная сила , направление которой показано на рис. 2.2, и сила сопротивления . Длина участка AB=l. На участке BC на груз действует сила трения FTP (коэффициент трения f=0,1) и переменная сила , где F измеряется в ньютонах, а t - в секундах.

Определить уравнение движения груза D на участке BC при следующих значениях параметров: m=4кг, Q=10H, m=0,8Hc2/м2, n=2, V0=12м/c, l=2,5м, g=9,9м/c2.

2.3.2. Решение примера

Дифференциальное уравнение движения груза D на участке АВ
( рис.2.3) запишется

Начальные условия ( ): м/с.

При прямолинейном движении скорость точки , а ускорение .

Тогда дифференциальное уравнение движения груза D примет вид:

.

Отсюда получаем:

Производную представим в виде:

.

Тогда получим следующее дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:

.

Разделив переменные, имеем

.

Интегрирование этого дифференциального уравнения дает:

.

После подстановки пределов интегрирования, получаем:

.

Потенцируя обе части последнего равенства, находим скорость груза D в конце участка AB:

м/с.

Запишем дифференциальное уравнение движения груза D на участке BС (рис.2.3):

,

где .

;

.

Начальные условия:

, м/с.

При прямолинейном движении и , поэтому имеем:

.

Разделяем переменные

.

После интегрирования, получим:

.

Из второго начального условия:

;

м/с.

Следовательно,

.

Но , поэтому .

Отсюда, после разделения переменных, имеем:

.

И, после интегрирования, получим:

.

Из первого начального условия:

м.

Окончательно имеем:

(м).

 

Задание №2. Колебания материальной точки

Содержание задания

 

Груз А прикрепленный к горизонтальной пружине совершает горизонтальные колебания под действием возмущающей силы , как показано на рис. 3.1.

Масса груза m, амплитуда возмущающей силы и ее круговая частота , а также начальные условия задачи даны в табл. 3.1.

Номер строки таблицы соответствует варианту задачи.

 

 

Определить коэффициент с упругости пружины для заданного в табл. 3.1 значения коэффициента динамичности при ,
где - круговая частота свободных колебаний без учета сил сопротивления.

Найти уравнение движения груза при заданных в таблице начальных условиях и найденном значении коэффициента упругости пружины. Начало отсчета на оси взять на конце недеформированной пружины.

Построить график зависимости амплитуды вынужденных колебаний от коэффициента расстройки для значений 0; 0,25; 0,5; 0,75; 0,9; 1,0; 1,1; 1,25; 1,5; 1,75; 2,0.

При решении задачи считать, что сила упругости пружины прямо пропорциональна ее деформации, а силами сопротивления движению пренебречь.

Определить зависимость амплитуды вынужденных колебаний от сопротивления движению, считая силу сопротивления пропорциональной величине скорости груза. При заданном в
табл. 3.1 значении коэффициента затухания, построить график зависимости амплитуды вынужденных колебаний от коэффициента расстройки для значений 0; 0,25; 0,5; 0,75; 0,9; 1,0; 1,1; 1,25; 1,5; 1,75; 2,0.