Краткие указания к выполнению задания

 

3.2.1. Проработать раздел “Колебания материальной точки”, пользуясь конспектом лекций и рекомендуемыми учебниками
[1 – 4].

3.2.2. Определить коэффициент с упругости пружины для заданного значения коэффициента динамичности при .

3.2.3. Выбрать ось в направлении движения груза. Начало отсчета на оси взять на конце недеформированной пружины.

3.2.4. Изобразить груз А в произвольный момент времени и расставить действующие на него силы.

3.2.5. Составить дифференциальное уравнение движения
груза А.

3.2.6. Записать дифференциальное уравнение колебаний груза в канонической форме.

3.2.7. Определить решение дифференциальное уравнение колебаний груза с учетом начальных условий.

3.2.8. Построить амплитудно-частотные характеристики системы без учета и с учетом сопротивления.

 

Таблица 3.1

Варианты числовых значений параметров задания №2

 

 

№ Вар. № Подвар. Масса груза m, кг Амплитуда силы F0, H Круговая частота w, с-1 Начальн. коорд. x0, м Начальн. скорость V0, м/с Коэфф. динам. Коэфф. затух. n, с-1
1. 0,4 0,03 1,2
0,5 0,05 0,5 1,3
0,6 0,07 1,4
0,7 0,09 1,5 1,5
0,8 0, 11 1,6
0,9 0, 13 2,5 1,7
2. 1,2 1,5
0,2 1,6
0,4 0,8 1,7
0,6 0,6 1,8
0,8 0,4 1,9
0,2
3. 0,8 0,04
0,05 0,2 1,8
1,2 0,06 0,4 1,6
1,4 0,07 0,6 1,4
1,6 0,08 0,8 1,2
1,8 0,09
4. 0,1
0,01 1,8 2,2
0,02 1,6 2,4
0,03 1,4 2,6
0,04 1,2 2,8
0,05
5. 0,05 1,8
0,04 0,1
0,03 0,2 2,2
0,02 0,3 2,4
0,01 0,4 2,6
0,5 2,8

 

Продолжение табл. 3.1

№ Вар. № Подвар. Масса груза m, кг Амплитуда силы F0, H Круговая частота w, с-1 Начальн. коорд. x0, м Начальн. скорость V0, м/с Коэфф. динам. Коэфф. затух. n, с-1
6. 1,5
0,01 0,9 1,6
0,02 0,8 1,7
0,03 0,7 1,8
0,04 0,6 1,9
0,05 0,5
7. 0,05 1,4
0,04 0,2 1,6
0,03 0,4 1,8
0,02 0,6
0,01 0,8 2,2
2,4
8. 1,8
0,01 1,8 1,6
0,02 1,6 1,4
0,03 1,4 1,2
0,04 1,2
0,05 0,8
9. 0,02 1,5
0,03 0,1
0,04 0,2 2,5
0,05 0,3
0,06 0,4 3,5
0,07 0,5
10.
0,02 2,5 2,2
0,04 2,4
0,06 1,5 2,6
0,08 2,8
0,1 0,5

 

 

Продолжение табл. 3.1

№ Вар. № Подвар. Масса груза m, кг Амплитуда силы F0, H Круговая частота w, с-1 Начальн. коорд. x0, м Начальн. скорость V0, м/с Коэфф. динам. Коэфф. затух. n, с-1
11. 0,01 2,5
0,02 0,1 2,6
0,03 0,2 2,7
0,04 0,3 2,8
0,05 0,4 2,9
0,06 0,5
12. 1,6
0,02 0,8 1,7
0,04 0,6 1,8
0,06 0,4 1,9
0,08 0,2
0,1 2,1
13. 0,2 1,8
0,3 0,3 1,7
0,4 0,6 1,6
0,5 0,9 1,5
0,6 1,2 1,4
0,7 1,5 1,3
14.
0,03 1,8 2,1
0,06 1,6 2,2
0,09 1,4 2,3
0,12 1,2 2,4
0,15 2,5
15. 0,01 2,5
0,02 0,1 2,4
0,03 0,2 2,3
0,04 0,3 2,2
0,05 0,4 2,1
0,06 0,5

 

 

Продолжение табл. 3.1

№ Вар. № Подвар. Масса груза m, кг Амплитуда силы F0, H Круговая частота w, с-1 Начальн. коорд. x0, м Начальн. скорость V0, м/с Коэфф. динам. Коэфф. затух. n, с-1
16. 1,5 1,4
0,2 1,6
0,4 2,5 1,8
0,6
0,8 3,5 2,2
2,4
17. 0,1 1,5
0,2 0,5 1,6
0,3 1,7
0,4 1,5 1,8
0,5 1,9
0,5 2,5
18. 0,5
0,01 0,4 2,8
0,02 0,3 2,6
0,03 0,2 2,4
0,04 0,1 2,2
0,05
19. 0,02 2,2
0,03 0,2 2,3
0,04 0,4 2,4
0,05 0,6 2,5
0,06 0,8 2,6
0,08 2,8
20. 2,8
0,2 2,5 2,6
0,4 2,4
0,6 1,5 2,2
0,8 2,1
0,5

 

Продолжение табл. 3.1

№ Вар. № Подвар. Масса груза m, кг Амплитуда силы F0, H Круговая частота w, с-1 Начальн. коорд. x0, м Начальн. скорость V0, м/с Коэфф. динам. Коэфф. затух. n, с-1
21. 0,05 1,9
0,04 0,2
0,03 0,4 2,1
0,02 0,6 2,2
0,01 0,8 2,3
2,4
22. 1,5 1,8
0,01 1,6 1,9
2,5 0,02 1,4 1,8
0,03 1,2 1,7
3,5 0,04 1,6
0,05 0,8 1,5
23. 3,5 0,3
0,4 0,3 2,5
4,5 0,5 0,6
0,6 0,9 1,5
5,5 0,7 1,2
0,8 1,5 0,5
24. 0,5 2,5
0,01 1,1 2,4
1,5 0,02 1,2 2,3
0,03 1,3 2,2
2,5 0,04 1,4 2,1
0,05 1,5
25. 0,15 2,3
0,14 0,1 2,4
0,13 0,2 2,5
0,12 0,3 2,6
0,11 0,4 2,7
0,1 0,5 2,8
26. 2,5 1,6
0,1 3,5 1,7
3,5 0,2 1,8
0,3 2,5 1,9
4,5 0,4
0,5 1,5 2,1

Окончание табл. 3.1

№ Вар. № Подвар. Масса груза m, кг Амплитуда силы F0, H Круговая частота w, с-1 Начальн. коорд. x0, м Начальн. скорость V0, м/с Коэфф. динам. Коэфф. затух. n, с-1
27. 0,2 1,3
0,3 0,1 1,4
0,4 0,2 1,5
0,5 0,3 1,6
0,6 0,4 1,7
0,7 0,5 1,8
28. 1,5 1,7
0,1 1,4 1,6
0,2 1,3 1,5
0,3 1,2 1,4
0,4 1,1 1,3
0,5 1,2
29. 0,08 1,5
0,07 0,5
0,06 2,5
0,05 1,5
0,04 3,5
0,03 2,5
30. 2,5
0,2 2,4 2,1
0,4 2,3 2,2
0,6 2,2 2,3
0,8 2,1 2,4
2,5
31. 0,1
0,2 0,2 2,8
0,3 0,4 2,6
0,4 0,6 2,4
0,5 0,8 2,2
0,6
32. 1,5 0,4
0,2 1,4 0,8
0,4 1,3 1,2
0,6 1,2 1,6
0,8 1,1
2,4

Пример выполнения задания

 

3.3.1. Условие примера

Груз А прикрепленный к горизонтальной пружине совершает горизонтальные колебания под действием возмущающей силы , как показано на рис. 3.1.

Масса груза m=0,8 кг, амплитуда возмущающей силы
=28,8 Н, ее круговая частота с-1, начальные условия движения груза на пружине м, м/с.

Определить коэффициент с упругости пружины для значения коэффициента динамичности при .

Найти уравнение движения груза при заданных начальных условиях и найденном значении коэффициента упругости пружины. Начало отсчета на оси взять на конце недеформированной пружины.

Построить график зависимости амплитуды вынужденных колебаний от коэффициента расстройки для значений 0; 0,25; 0,5; 0,75; 0,9; 1,0; 1,1; 1,25; 1,5; 1,75; 2,0.

При решении задачи считать, что сила упругости пружины прямо пропорциональна ее деформации, а силами сопротивления движению пренебречь.

Определить зависимость амплитуды вынужденных колебаний от сопротивления движению, считая силу сопротивления пропорциональной величине скорости груза. При значении коэффициента затухания с-1, построить график зависимости амплитуды вынужденных колебаний от коэффициента расстройки для значений 0; 0,25; 0,5; 0,75; 0,9; 1,0; 1,1; 1,25; 1,5; 1,75; 2,0.

 

3.3.2. Решение примера

Определим коэффициент с упругости пружины.

При отсутствии сил сопротивления коэффициент динамичности вычисляется по формуле

,

откуда

с-2.

С другой стороны, квадрат круговой частоты свободных колебаний без учета сил сопротивления равен

,

следовательно

Н/м.

Амплитуда вынужденных колебаний определяется произведением

.

Здесь - деформация пружины при статическом действии силы .

В нашем примере

м, м.

Силы, приложенные к грузу А в произвольный момент времени, изображены на рис. 3.2

 

 

Составляем дифференциальное уравнение движения груза

(3.1)

где - сила упругости пружины:

.

Подставляя выражения возмущающей силы и силы упругости в уравнение (3.1), получаем следующее дифференциальное уравнение вынужденных колебаний груза:

которое приводится к канонической форме

(3.2)

Здесь м/с2.

Это дифференциальное уравнение необходимо решать при начальных условиях:

м, (3.3)

м/с.

Общее решение уравнения (3.2) является суммой двух функций

,

где - общее решение однородного уравнения, а - частное решение неоднородного уравнения.

Однородное уравнение имеет решение

,

где и и - постоянные интегрирования.

Частное решение неоднородного уравнения следующее

.

Таким образом, в нашем примере

. (3.4)

Постоянные интегрирования находим из начальных условий (3.3).

Подставляя функцию (3.4) в первое начальное условие, имеем:

,

откуда

м.

Далее определяем производную по времени от функции (3.4)

.

Тогда из второго начального условия (3.3), следует

.

Получаем

м.

Уравнение колебательного движения груза А окончательно примет вид

, м.

Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от коэффициента расстройки следующая

(3.5)

Результаты вычислений по формуле (3.5) для различных значений z приведены в табл. 3.2.

Таблица 3.2

 

z 0,25 0,5 0,75 0,9 1,0 1,1 1,25 1,5 1,75 2,0
В×102, м 1,0 1,07 1,33 2,29 5,26 ¥ 4,76 1,78 0,8 0,485 0,333

 

По данным табл. 3.2 строим кривую 1 на рис. 3.3, которая называется амплитудно–частотной характеристикой системы при отсутствии сопротивления.

При наличии силы сопротивления окружающей среды, пропорциональной скорости груза, дифференциальное уравнение движения системы будет иметь вид

,

где n – коэффициент затухания (с-1).

Величина амплитуды вынужденных колебаний находится по формуле

(3.6)

где - относительный коэффициент затухания .

В нашем случае .

Результаты вычислений по формуле (3.6) для различных значений z приведены в табл. 3.

Таблица 3.3

 

z 0,25 0,5 0,75 0,9 1,0 1,1 1,25 1,5 1,75 2,0
В×102, м 1,0 1,06 1,29 1,89 2,46 2,5 2,05 1,33 0,72 0,459 0,322

 

По данным табл. 3.3 строим кривую 2 на рис. 3.3, которая дает представление о влиянии сопротивления на амплитуду вынужденных колебаний груза.

 
 

 


 

 

Задание №3. Применение теоремы об изменении кинетического момента к определению угловой скорости твердого тела

Содержание задания

 

Тело D массой вращается вокруг вертикальной оси z с угловой скоростью . Варианты расчетных схем изображены на
рис. 4.1. При этом в точке M желоба AB тела D на расстоянии AM от точки A, отсчитываемом вдоль желоба, закреплена материальная точка K массой . В момент времени на систему начинает действовать пара сил с моментом . При действие пары сил прекращается; одновременно точка K начинает относительное движение по желобу согласно закону .Варианты числовых значений параметров приведены в табл. 4.1.

Примечание. Знак минус перед и соответствует направлению движения часовой стрелки, если смотреть со стороны положительного направления оси z.

 

Определить угловые скорости тела D соответственно в моменты времени и .

Тело D рассматривать как тонкую однородную пластину. Форма пластины выбирается в соответствии с вариантом задачи
(см. рис. 4.1). Осевой момент инерции тела определять по формуле приведенной в табл. 4.2.