Краткие указания к выполнению задания

6.2.1. Прежде, чем приступить к выполнению задания, необходимо проработать соответствующие разделы лекций и рекомендуемой литературы [1 – 4].

6.2.2. Записать равенство, выражающее общее уравнение динамики.

6.2.3. Изобразить активные силы, нагружающие систему, и силы инерции.

6.2.4. Сообщить системе возможное перемещение.

6.2.5. Записать выражение элементарной работы активных сил и сил инерции на этом возможном перемещении.

6.2.6. Определить ускорение тела А.

6.2.7. Применить принцип Даламбера отдельно к телу А и
шкиву С.

6.2.8. Определить из уравнений условного равновесия этих тел силы натяжения в ветвях троса.

Пример выполнения задания

6.3.1. Условие примера

Рассматривается движение механической системы, изображенной на рис. 5.2. Даны следующие значения параметров: кг, кг, кг, Н, Нм, м, м, м, м, , , , м, м/с².

Определить ускорение тела А и натяжения T₁ и T₂ в ветвях троса.

6.3.2. Решение примера

Общее уравнение динамики системы имеет вид

, (6.1)

где и - суммарные работы активных (заданных сил) и сил инерции на любом возможном перемещении механической системы.

Связи, наложенные на рассматриваемую механическую систему, можно считать идеальными, если максимальную силу трения скольжения и максимальный момент трения качения отнести к активным силам. Тогда активными силами, действующими на данную систему, будут: , , , , , и
, изображенные на рис. 6.1.

Величина максимальной силы трения скольжения равна:

(6.2)

Модуль максимального момента трения качения вычисляется по формуле

(6.3)

Далее применяем к рассматриваемой механической системе принцип Даламбера. С этой целью предварительно определяем главные векторы и главные моменты сил инерции тел, которые затем условно присоединяем к этим телам противоположно их ускорениям.

Модуль главного вектора поступательного движущегося тела А:

(6.4)

Модуль главного момента сил инерции шкива С, вращающегося с угловым ускорением :

Момент инерции шкива С относительно оси, проходящей через точку О₁:

Имеют место следующие кинематические соотношения:

(6.5)

Дифференцируя по времени обе части этих соотношений, получаем:

(6.6)

Таким образом,

(6.7)

Модуль главного вектора и главного момента сил инерции колеса В вычисляем по формулам:

(6.8)

где - момент инерции колеса В относительно оси, проходящей через его центр масс О.

С учетом соотношений (6.6) формулы (6.8) примут вид:

(6.9)

Данная механическая система имеет одну степень свободы и ее положение в любой момент времени однозначно определяется одной обобщенной координатой. В качестве этой координаты назначим перемещение S_A тела А ( см. рис. 6.1).

Сообщаем системе возможное перемещение, при котором обобщенная координата S_A увеличится на бесконечно малую величину .

Запишем общее уравнение динамики системы:

(6.10)

Возможные перемещения , и могут быть выражены через основную вариацию следующим образом. Умножим обе части соотношений (6.5) на бесконечно малое время dt:

откуда имеем

(6.11)

Заменяя в уравнениях (6.11) значки дифференциала “d” на значки вариации “d”, получаем

(6.12)

Подставляя выражения (6.2), (6.4), (6.7), (6.9), и (6.12) в уравнение (6.10), имеем:

Поскольку , из равенства нулю выражения в квадратных скобках находим

Для заданных числовых значений параметров ускорение тела А равно

Рассмотрим отдельно условное равновесие груза А изображенногона рис. 6.2.

Запишем уравнение условного равновесия:

Отсюда находим силу T₁ натяжения правой ветви троса

Н.

Теперь рассмотрим условное равновесие шкива С, изображенного
на рис. 6.3.

Уравнение моментов относительно точки О₁ следующее

Здесь согласно закону равенства действия и противодействия . Решая это уравнение с учетом выражения (6.7), определяем силу T₂ натяжения левой ветви троса:

Н.

Задание №6. Применение уравнений Лагранжа второго рода к изучению движения механической системы с двумя степенями свободы

Содержание задания

Тело массой вращается вокруг вертикальной оси под действием пары сил с моментом . Варианты расчетных схем изображены на рис. 7.1. При этом по желобу тела под действием внутренней силы , направленной по касательной к желобу (управляющее воздействие), движется материальная точка массой . Согласно закону равенства действия и противодействия с такой же по величине силой, но направленной в противоположную сторону, точка действует на тело . Варианты числовых значений параметров приведены в табл. 7.1.

Используя уравнения Лагранжа второго рода, составить дифференциальные уравнения движения механической системы в обобщенных координатах. Сопротивлением движению пренебречь.

Тело D рассматривать как тонкую однородную пластину. Форма пластины выбирается в соответствии с вариантом задачи
(см. рис. 7.1). Осевой момент инерции тела определять по формуле приведенной в табл. 4.2.