Предел и непрерывность композиции функций
Теорема 6. Пусть функция f задана на множестве X, функция f - на множестве Y и f(X) 
Y. Если существуют конечные или бесконечные пределы
 f(x) = y0,
| (6.40)
|
 g(y) = z0,
| (6.41)
|
то при x 
x0 существует предел ( конечный или бесконечный) сложной функции g[ f(x)], причем
| g[ f(x)] = g(y).
| (6.42)
|
Пусть xn x0, xn 
X, n = 1, 2, ...; тогда в силу (6.40) имеем
yn 
f(xn) y0, yn Y, n = 1, 2, ...
Поэтому в силу (6.41) g(yn) z0, но yn = f(xn), следовательно, g[ f(x)] z0, n = 1, 2, ..., т. е. имеет место равенство (6.42). 
Замечание1. Если функция Y непрерывна в точке y0, т. е.
| g(y) = g( y0),
| (6.43)
|
то формулу (6.42) можно записать в виде
| g[ f(x)] = g( f(x)).
| (6.44)
|
Иначе говоря, предельный переход перестановочен с операцией взятия непрерывной функции. В самом деле, согласно теореме 6
| g[ f(x)]
| =
| g(y)
| =
| g( y0)
| =
| g( f(x)).
|
| | (6.42)
| | (6.43)
| | (6.40)
| |
Отсюда следует, в частности, что непрерывная функция от непрерывной функции непрерывна, точнее:
Следствие. Если функция f непрерывна в точке x0, а функция g непрерывна в точке y0 = f(x0), то и их композиция g 
f непрерывна в точке x0.
Действительно, непрерывность функции f в точке x0 означает, что
| f(x) = f(x0) = y0,
| (6.45)
|
поэтому в силу непрерывности функции g в точке y0 из формулы (6.44) получим
| g[ f(x)]
| =
| g[ f(x)]
| =
| g f(x0)
|
| | (6.44)
| | (6.45)
| |
т.е. функция g f непрерывна в точке x0.
Замечание 2. Обычно, когда говорят, что некоторая функция в данной точке имеет предел, то имеют в виду, что этот предел конечный, а случай бесконечного предела оговаривают особо.
| Непрерывность функций
|
| |
Определение непрерывности по Гейне
Говорят, что функция действительного переменного f(x) является непрерывной в точке aR (Rмножество действительных чисел), если для любой последовательности {xn}, такой, чтоlimnxn=a,выполняется соотношениеlimnf(xn)=f(a).На практике удобно использовать следующие 3 условия непрерывности функции f(x) в точке x=a (которые должны выполняться одновременно):
- Функция f(x) определена в точке x=a;
- Предел limxaf(x) существует;
- Выполняется равенство limxaf(x)=f(a).
Определение непрерывности по Коши (нотация )
Рассмотрим функцию f(x), которая отображает множество действительных чисел R на другое подмножество B действительных чисел. Говорят, что функция f(x) является непрерывной в точке aR, если для любого числа >0 существует число >0, такое, что для всех xR, удовлетворяющих соотношению|xa|<,выполняется неравенство|f(x)f(a)|<.
Определение непрерывности в терминах приращений аргумента и функции
Определение непрерывности можно также сформулировать, используя приращения аргумента и функции. Функция является непрерывной в точке x=a, если справедливо равенствоlimx0y=limx0[f(a+x)f(a)]=0,где x=xa. Приведенные определения непрерывности функции эквивалентны на множестве действительных чисел. Функция является непрерывной на данном интервале, если она непрерывна в каждой точке этого интервала.
Теоремы непрерывности
Теорема 1. Пусть функция f(x) непрерывна в точке x=a и C является константой. Тогда функция Cf(x) также непрерывна при x=a. Теорема 2. Даны две функции f(x) и g(x), непрерывные в точке x=a. Тогда сумма этих функций f(x)+g(x) также непрерывна в точке x=a. Теорема 3. Предположим, что две функции f(x) и g(x) непрерывны в точке x=a. Тогда произведение этих функцийf(x)g(x) также непрерывно в точке x=a. Теорема 4. Даны две функции f(x) и g(x), непрерывные при x=a. Тогда отношение этих функций f(x)g(x) также непрерывно при x=a при условии, что g(a)0. Теорема 5. Предположим, что функция f(x) является дифференцируемой в точке x=a. Тогда функция f(x)непрерывна в этой точке (т.е. из дифференцируемости следует непрерывность функции в точке; обратное неверно). Теорема 6 (Теорема о предельном значении). Если функция f(x) непрерывна на закрытом и ограниченном интервале [a,b], то она ограничена сверху и снизу на данном интервале. Другими словами, существуют числа m и M, такие, чтоmf(x)Mдля всех x в интервале [a,b] (рисунок 1).
| | 
| | Рис.1
| | Рис.2
| Теорема 7 (Теорема о промежуточном значении).
Пусть функция f(x) непрерывна на закрытом и ограниченном интервале [a,b]. Тогда, если c некоторое число, большее f(a) и меньшее f(b), то существует число x0, такое, чтоf(x0)=c.Данная теорема проиллюстрирована на рисунке 2.
|