Теорема Лейбница 16.2.4 (без доказательства).
Если модули членов знакопеременного ряда убывают при возрастании их номера, то есть
и n-й член ряда при неограниченном возрастании n стремится к нулю, то есть
, то этот ряд сходится
Пример 16.2.4
Сходящимся является ряд 
, так как для него выполнены условия теоремы Лейбница
Перейдем теперь от числовых рядов к рядам функциональным
Определение 16.2.6.
Пусть на множестве 
определена последовательность действительных или
комплексных функций 
Выражение вида
в котором члены последовательности 
соединены знаками плюс, называют функциональным рядом, определенным на множестве X, а функции 
— членами этого функционального ряда.
При фиксированном 
всякому функциональному ряду 
соответствует числовой (действительный или комплексный) ряд
которого являются значения 
функций fn(x) в точке х0.
Определения 16.2.6.
Функциональный ряд 
называют сходящимся в точке 
если сходится числовой ряд
из значений его членов в этой точке.
В противном случае функциональный ряд 
называют расходящимсяв точке 
.
Если функциональный ряд сходится в каждой точке
некоторого множества 
, то говорят, что этот функциональный ряд является сходящимся (поточечно) на множестве М или что имеет место поточечная сходимостьфункционального ряда на множестве М.
Множество 
всех точек х из X, в которых ряд, определенный
на множестве X, сходится, называют областью сходимости функционального ряда.
По аналогии с числовыми рядами для всякого функционального ряда 
, можно построить последовательность 
функций вида
Определение 16.2.7.
Функцию 
, называют n-й частичной суммой
функционального ряда 
.
Таким образом, каждому функциональному ряду соответствует
функциональная последовательность его частичных сумм.
Верно и обратное утверждение:
каждой функциональной последовательности 
, можно поставить в соответствие функциональный ряд 
, последовательностью частичных сумм которого является функциональная последовательность 
.
Действительно, полагая 
получаем 
Указанное соответствие между функциональными рядами и последовательностями позволяет любое утверждение, справедливое для функциональных последовательностей, сформулировать в терминах теории функциональных рядов, и наоборот.
В частности, определение 16.2.6. можно сформулировать следующим
образом: функциональный ряд 
сходится в точке 
тогда и только тогда, когда в точке x0 сходится функциональная
последовательность {Sn(x)} его частичных сумм, и данный ряд расходится в точке x0 в том и только том случае, если в этой точке расходится функциональная последовательность {Sn(x)} его частичных сумм.
Определение 16.2.8.
Если функциональный ряд 
сходится на множестве X, т.е.
то определенную таким образом предельную функцию S(x) называют суммой функционального ряда на множестве X и пишут
Функциональный ряд обычно начинают изучать с исследования его на сходимость, которое сводится к определению области сходимости этого ряда. При этом можно использовать известные свойства числовых рядов и признаки их сходимости.
Другой и, как правило, более сложной задачей теории функциональных рядов является нахождение суммы функционального ряда.
Приведем некоторые примеры функциональных рядов.
Примеры 16.2.5.
1) Рассмотрим ряд Дирихле 
как функциональный ряд
Областью сходимости ряда Дирихле является полуось 
. При х 1 ряд Дирихле расходится, при х 0, то не выполнен необходимый признак сходимости ряда.
2) Найдем область сходимости функционального ряда
При любом значении 
данный ряд является знакоположительным числовым рядом, поскольку 
для всех 
.
Воспользуемся радикальным признаком Коши.
Поскольку
, рассматриваемый функциональный ряд сходится при
, т.е. при х < 0, и расходится при 
, т.е. при х > 0. В точке х = 0 функциональный ряд принимает вид 
и, очевидно, расходится.
Таким образом, исследуемый функциональный ряд сходится
при х < 0 и расходится при х 0.
Рассмотрим теперь специальный вид функциональных рядов, а именно:
Определения 16.2.9
(Функциональный) ряд вида
называется степенным рядом.
Числа 
называются коэффициентами степенного ряда (an – коэффициент при xn ). Любой степенной ряд сходится при х=0 к сумме а0 .
Ряд 
называется обобщенным степенным рядом или рядом с центром в точке х = х0 . Заменой y = x – х0 его можно привести к обычному степенному ряду, или ряду с центром в нуле 
.
Теорема Абеля 16.2.3.(без доказательства)
1. Предположим, что степенной ряд 
сходится при х = х1 0. Тогда этот ряд сходится, и притом абсолютно, при всех значениях х, таких что
, то есть сходится абсолютно в интервале 
.
2) Предположим, что степенной ряд расходится при х = х2 . Тогда он расходится также при всех х таких , что 
, то есть этот ряд расходится на лучах 
Определение 16.2.10
Ряд 
называется сходящимся абсолютно, если, наряду с 
сходится и ряд 
Из теоремы Абеля следует, что для каждого степенного ряда существует число R 0 (возможно также, что R = +), обладающее свойствами:
1) при всех |x| < R степенной ряд сходится абсолютно
2) при всех |x| > R ряд расходится
3) при 
числовые ряды 
и 
могут как сходиться, так и расходиться.
При R = пункты 2) и 3) теряют смысл, а 1) означает, что в таком случае степенной ряд абсолютно сходится при каждом фиксированном значении
При R = 0 пункт 1) не имеет смысла, то есть степенной ряд везде расходится кроме х = 0.
Определение 16.2.11
Число R называется радиусом сходимости степенного ряда, а интервал ( - R, R) – интервалом сходимости ряда.
Для некоторых степенных рядов радиус сходимости можно выразить при помощи форму, выраженных через коэффициенты ряда:
Примеры 16.2.6.
1) Исследуем на сходимость ряд
По п.1)
соответственно, ряд (абсолютно) сходится на всех 
Определения 16.2.12.
Пусть функция f(x) задана в некоторой окрестности точки х0 и имеет в этой точке производные любого порядка. Тогда степенной ряд
называют рядом Тейлора функции f(x) в точке х0 .
При х0 = 0 ряд Тейлора называют рядом Маклорена.
Возникают следующие вопросы: каков интервал сходимости ряда Тейлора функции f(x) в точке х0? сходится ли он к функции f(x), и если да, то существует ли другой степенной ряд, сумма которого на этом интервале совпадает f(x)?
Определение 16.2.13.
Действительную функцию f(x)действительного переменного называют аналитической в точке х0, если она определена в некоторой окрестности точки х0 и ее можно представить в этой окрестности некоторым
сходящимся степенным рядом:
Такое представление аналитической функции называют ее разложением в степенной ряд в окрестности точки х0.
Сформулируем теорему, показывающую, что разложение аналитической функции в степенной ряд единственно и этим рядом является ее ряд Тейлора.