Дифференциальное уравнение гармонического колебания
Рассмотрим простейшую колебательную систему: шарик массой "m" подвешен на пружине.
В этом случае упругая сила F1 уравновешивает силу тяжести mg. Если сместить шарик на расстояние "х", то на него будет действовать большая упругая сила (F1 + F). Изменение упругой силы по закону Гука пропорционально изменению длины пружины или смещениюшарика "х" : F = - kx (1), где k - жесткость пружины. Знак "-" отражает то обстоятельство, что смещение и сила имеют противоположные направления. Сила F обладает следующими свойствами:
1) она пропорциональна смещению шарика из положения равновесия;
2) она всегда направлена к положению равновесия.
В нашем примере сила по своей природе упругая. Может случиться, что сила иного происхождения обнаруживает такую же закономерность, то есть оказывается равной - kx. Силы такого вида, неупругие по природе, но аналогичные по свойствам силам, возникающим при малых деформациях упругих тел, называют квазиупругими.
Уравнение второго закона Ньютона для шарика имеет вид:
, или 
Так как "k" и "m" - обе величины положительные, то их отношение можно приравнять квадрату некоторой величины "w0 ", т.е. мы можем
ввести обозначение 
. Тогда получим 
. Таким образом, движение шарика под действием силы вида (1) описывается линейным однородным дифференциальным уравнением второго
порядка.
Легко убедиться подстановкой, что решение уравнения имеет вид: x = Acos( w0 t + a0 ), (2)
где (w0 t + a0 ) = a - фаза колебаний;
a0- начальная фаза при t = 0;
w0- круговая частота колебаний;
A - их амплитуда.
Итак, смещение x изменяется со временем по закону косинуса.
Следовательно, движение системы, находящейся под действием силы вида f = - kx, представляет собой гармоническое колебание.
График гармонического колебания показан на рисунке.
Период этих колебаний находится из формулы: 
. Для пружинного маятника получаем: 
.Круговая частота связана с обычной n соотношением: 
.