Будь-яка впорядкована множина, яка складається з n елементів, називається перестановкою з n елементів і позначається Рn
Таким чином, перестановки з n елементів відрізняються між собою лише порядком елементів.
Два елементи а і b можна упорядкувати двома способами: ab і bа. Це дві перестановки з елементів a і b. Отже, Р2 = 2.
Щоб утворити перестановки з трьох елементів а, b, с можна третій елемент с помістити попереду пари ab, посередині пари аb та вкінці пари ab:
cab, acb, abc.
Точно так із пари bа можна одержати:
cba, bca, bac.
Отже, для трьох елементів існує 2 · 3 = 6 способів розташування по порядку, число перестановок з трьох елементів дорівнює 6. P3 = 2 · 3 = 6.
Нехай маємо k елементів, із яких складені всі можливі Рk перестановки. Візьмемо одну із них: а1а2а3...аk. Добавимо ще один (k + 1)-й елемент. Його можна помістити:
1) перед першим елементом а1;
2) перед другим елементом а2;
3) перед третім елементом a3;
……………………………………
k) перед k-им елементом аk;
(k + 1) в кінці всіх елементів, тобто, всього k + 1 способом.
Отже, кількість перестановок із k + 1 елементів в (k + 1) раз більша, ніж число перестановок із k елементів, тобто,
.
Отже,
P1 = 1;
P2 = P1 · 2 = 1 · 2 = 2;
P3 = P2 · 3 = 1 · 2 · 3 = 6;
P4 = Рз · 4 = 1 · 2 · 3 · 4 = 24;
P5 = P4 · 5 = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 = 120;
………………………………
Pk = Pk-1 · k = 1-2· 3 ·... · k;
Pk+1=Pk · (k+1) = 1 · 2 · 3 ·...· k · (k+l).
Добуток натуральних чисел від 1 до даного натурального числа η називається факторіалом числа n і позначається n! В таблиці наведено значення факторіала для значень п від 1 до 10.
Число перестановок з n елементів дорівнює добутку всіх натуральних чисел від 1 до п, тобто п! (читають: єн факторіалів).
Задача. Скількома способами можна розставити на майданчику 6 волейболістів?
Розв'язання
P6 = 6! =l · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 = 720.