МАТРИЦА ПЛОТНОСТИ
Если нет полной информации о системе, то она не имеет волновой функции и описывается матрицей плотности, введенной Ландау и Нейманом в 1927 г.
Лев Давидович Ландау Джон фон Нейман
(1908–1968) (1903–1957)
Чистое и смешанное состояния. Волновой функцией описывается чистое состояние. Для смешанного состояния известна лишь вероятность 
того, что состояние описывается одной из возможных волновых функций 
. Между этими функциями не определены фазовые соотношения и отсутствует интерференция. Например, если параметр системы измерен не точно, то состояние смешанное и является вероятностью i-ого значения параметра. Так, если в атоме водорода положение протона не фиксировано, то электрон находится в смешанном состоянии. Если протон неподвижен или его движение упорядочено, то состояние электрона чистое. Чистое состояние разлагается по ортонормированному базису с коэффициентами, которые могут регулярно изменяться. Если коэффициенты изменяются беспорядочно, то состояние смешанное. Чистое состояние переходит в смешанное в процессе декогеренциисистемы, когда она взаимодействует с объектом, испытывающим хаотические изменения, например, с макроскопическим телом. Декогеренция ускоряется с увеличением размеров квантовой системы, с ростом числа ее частиц, с увеличением температуры. Система в чистом состоянии должна быть изолирована от окружающих тел и хаотически меняющихся полей путем охлаждения, вакуумирования и экранирования. Уменьшение декогеренции необходимо для квантового компьютера, квантовой криптографии, квантовых коммуникаций. Смешанное состояние описывается матрицей плотности, чистое состояние – как волновой функцией, так и матрицей плотности.
Матрица плотности чистого состояния. Состояние 
разлагаем по собственным функциям 
некоторого эрмитового оператора 
с дискретным спектром
.
Состояние описываем набором коэффициентов 
. Для среднего значения величины a получаем
, (2.76)
где 
– матричный элемент оператора между состояниями n и m.
Определяем матрицу плотности r с элементами
, (2.77)
тогда
, (2.78)
где
– шпур (от нем. die Spur – «след») – сумма диагональных элементов матрицы;
является вероятностью обнаружения состояния n в состоянии .
Пример. При общем количестве состояний 
,
,
где
;
;
– вероятность результата 
.
Наличие интерференционного слагаемого 
означает, что y1 и y2 в составе чистого состояния взаимно согласованы по фазе, т. е. когерентны, и их интерференция влияет на результат.
Матрица плотности смешанного состояния. Для смешанного состояния коэффициенты разложения 
зависят от не полностью определенного параметра состояния j, принимающего ряд значений. В (2.76) появляется дополнительное усреднение по j
,
где 
– вероятность j-ого значения. Определяем матрицу плотности в виде среднего по j
. (2.79)
Диагональный элемент матрицы плотности дает вероятность состояния 
,
где 
является вероятностью состояния в компоненте j смешанного состояния. Недиагональные элементы (2.79) характеризуют корреляцию состояний m и n. Среднее значение (2.78) получает вид
.
При росте декогеренции и хаотизации фаз состояний происходит ослабление корреляции, недиагональные элементы матрицы плотности исчезают. Диагональные элементы переходят в распределение Больцмана по энергии.
Пример. При 
, 
.
Интерференционный член отсутствует, поэтому волновые функции компонент 
и 
смешанного состоянияне когерентные.
Свойства матрицы плотности. Выполняются:
Условие нормировки
. (2.80)
Условие эрмитовости
. (2.81)
Признак чистого состояния
. (2.82)
При нарушении (2.82) состояние смешанное.
Уравнение фон Неймана
(2.83)
является аналогом уравнения Шредингера для смешанного состояния.
Рассмотрим физические особенности поведения квантовой частицы, отличающие ее от классической частицы.