Взаємний перетин поверхонь
7.1. Перетин граних поверхонь.Результатом перетину граних поверхонь є замкнута ламана лінія. Для побудови проекцій точок цієї лінії використовують 2 методи:
1) будують точки перетину ребер однієї поверхні з гранями іншої (рішення задачі на перетин прямої та площини);
2) визначають лінії перетину граней першої поверхні з гранями іншої (рішення задачі на визначення ліній перетину двох площин).
Приклад. Побудувати лінію перетину трьохграної призми АВС з нахиленої пірамідою SEBDF (рис. 7.1).
Аналіз графічної умови.
Призма АВС перпендикулярна П1, тому її бокові грані горизонтально-проекцюючі площини. На цій підставі горизонтальні проекції граней мають збиральні властивості. Тому позначаємо точки перетину ребер піраміди з гранями призми.
1. S1E1×A1B1=11;
S1E1×B1C1=21;
S1F1×A1B1=31;
S1F1×B1C1=41.
2. 12; 22 є S2E2;
32;42 є S2F2.
Рис. 7.1
Ребро призми В перетинає дві грані піраміди CDE та CDF. Для визначення точок перетину використовуємо пряму лінію і з’єднуємо S1B1.
3. S1B1×E1D1=51;
S1B1×F1D1=61;
S2 є E2D2;
S252×B2=72;
71≡B1.
4. 62 є F2D2;
S262×B2=82;
81≡B1≡71.
На П2 з’єднуємо точки перетину з урахуванням їх видимості:
1272;2272;3282;4282 – видимі;
1232;2242;3242;8272 – невидимі
7.2. Перетин поверхонь обертання.В результаті взаємного перетину поверхонь обертання утворюється замкнута крива лінія. Для побудови її проекцій використовують два методи:
1) метод допоміжних січних площин рівня;
2) метод допоміжних січних концентричних сфер.
Метод допоміжних січних площин рівня використовується, якщо:
1) обидві поверхні є поверхнями обертання;
2) вісі обертання обох поверхонь не перетинаються.
Суть методу полягає в тому, що в результаті перетину січних площин і кожної поверхні утворюються прості лінії – твірні або кола, які в свою чергу також перетинаються і дають положення проекцій точок, які належать лінії перетину поверхонь.
Приклад. Побудувати лінію перетину конусу і сфери (рис. 7.2).
План розв’язання.
1. Будуємо проекції точок перетину крайньої правої твірної конусу і сфери та їх горизонтальні проекції:
1222;
1121.
2. На П2 будуємо фронтальний слід допоміжної січної площини ∑:
∑2║х;
∑2×К2=R2;
∑2×Сф2=r2;
R1×r1=31;31/;
32;32/ є O2;
3. ∑2/║х;
∑2/× К2=R2/;
∑2/×Сф2=r2/; Рис. 7.2
R1/×r1/=41/;41;
42;42/ є ∑2/.
4. На П2 лінія перетину – видима крива. На П1 – лінія перетину складається з двох частин: видимої та невидимої.
Видимі точки: 11, 31, 31/, 41, 41/ на П2 розташовані над екватором сфери. 42, 42/ - на екваторі, тому є межовими точками видимості. Невидимі на П1: 41, 41/, 21, 51, 51/ – на П2 розташовані під екватором сфери.
Метод допоміжних січних концентричних сфер використовується, якщо:
1) обидві поверхні є поверхнями обертання;
2) вісі симетрії (обертання) обох поверхонь перетинаються;
3) обидві поверхні мають загальну площину симетрії.
Приклад. Побудувати лінію перетину прямого конусу та нахиленого циліндру (рис. 7.3).
План розв’язання:
1) розв’язання задачі виконують на П1; горизонтальні проекції точок лінії перетину визначають як недостатні проекції точок, які належать поверхні конусу (методом твірної або допоміжної січної площини рівня); тому, по-перше, визначають положення точок перетину крайньої правої твірної конусу і твірної циліндра: Рис. 7.3
1222;
2) з центру О2 будують сферу 1, дотичну до правої твірної конусу. З точки дотику проводимо допоміжну пряму, паралельно до основи конусу;
3) з’єднують прямою точки перетину сфери 1 з твірними циліндру; ця лінія перетинає попередню і отримуємо проекції точок лінії перетину поверхонь:
Сф1; 3232/;
4) збільшуємо радіус сфери 1 на 2-3 мм і з центру О2 будуємо сферу 2, концентричну до сфери 1:
Сф2;
5) з точок перетину сфери 2 та твірної конусу будують допоміжні горизонтальні прямі; з’єднують точки перетину сфери 2 з твірними циліндру; остання пряма перетинає дві попередні і отримуємо положення проекцій точок лінії перетину поверхонь:
42, 42/;
52, 52/;
6) з’єднують плавною лінією 124242/3232/5252/22; лінія перетину на П2 – видима.
7.3. Перетин граних поверхонь з поверхнями обертання.В результаті перетину утворюється замкнута крива лінія. Для визначення проекцій точок цієї лінії використовують метод допоміжних січних площин рівня, які перетинають обидві поверхні.
Результатом перетину граної поверхні з січною площиною будуть прямі лінії, а результатом перетину з поверхнею обертання – коло. Прямі лінії перетинаються з відповідними колами і утворюються проекції точок, які належать до лінії перетину поверхонь.
Приклад. Побудувати лінію перетину конусу і призми (рис. 7.4).
Аналіз графічної умови:
Призма АВС перпендикулярна П2, а тому фронтальна проекція лінії перетину поверхонь буде розташована на фронтальній проекції призми і подальше розв’язання задачі зводиться до побудови точок лінії перетину поверхонь. Для цього використовують допоміжні горизонтальні січні площини рівня Г║П1.
1. Г║П1.
2. Г2║х;
Г2 є В2;
Г2×К2=R2;
R1×B1=11, 11/;
12, 12/≡B2.
3. Г2/║х;
Г2/×А2В2=22, 22/;
Г2/×В2С2=32, 32/;
21, 21/, 31, 31/.
4. Г2// є А2С2. Рис. 7.4
5. А2≡42≡42/; В2≡52≡52/;
41, 41/, 51, 51/.