Лемма о вложенных отрезках
В математическом анализе при доказательстве многих важных утверждений аксиома полноты множества действительных чисел используется в виде принципа Коши-Кантора, называемого леммой о вложенных отрезках.
Определение 3. Система числовых отрезков
, 
, …, 
, …, 
, 
, 
называется системой вложенных отрезков, если
,
т.е., если
(рис. 1).
 |
Рис. 1
Лемма 1. Всякая система вложенных числовых отрезков имеет непустое пересечение.
Доказательство. Для любых двух отрезков 
и 
нашей последовательности имеет место 
, в противном случае отрезки бы не имели бы общих точек. Таким образом для числовых множеств 
и 
выполнены условия аксиомы полноты, в силу которой найдется число 
такое, что для любых 
и 
выполнено 
. В частности, 
для любого 
. А это и означает, что точка с принадлежит всем отрезкам.
Лемма 2. Для всякой системы вложенных отрезков, длины которых стремятся к нулю, существует единственная точка 
, принадлежащая всем отрезкам данной системы.
Существование такой точки следует из теоремы 1. Докажем единственность. Предположим противное. Пусть 
– две точки, обладающие этим свойством. Если они различны и, например 
, то при любом имеем 
, поэтому 
и длина каждого отрезка нашей последовательности не может быть меньше положительной величины 
. Значит, если в последовательности есть отрезки сколь угодно малой длины, то общая точка у них единственная