Открытые и замкнутые множества. Теорема Больцано-Вейерштрасса
Определение 8.Множество, содержащее все свои предельные точки, называется замкнутым.
Определение 9.Множество, у которого все точки являются внутренними, называется открытым.
Определение 10.Совокупность всех точек прикосновения множества 
называется его замыканием 
.
Определение 11.Ограниченное замкнутое множество называется компактом.
Теорема (Больцано-Вейерштрасса).Всякое бесконечное ограниченное числовое множество имеет хотя бы одну предельную точку.
Доказательство. Пусть А – ограниченное множество, тогда существует такой отрезок [c, d], которому принадлежит А. Так как А – бесконечное множество, то хотя бы на одной из двух половин [c, (c+d)/2], [(c+d)/2, d] отрезка [c, d] имеется бесконечное подмножество множества А. Пользуясь этим очевидным предположением, отправляясь от отрезка [c, d] =∆1 с заданным на нем бесконечным множеством точек А, построим систему вложенных отрезков ∆n, где каждый последующий отрезок составляет половину предыдущего и несет на себе бесконечное подмножество множества А. По принципу Кантора у этой системы есть общая точка х0, докажем, что она является предельной для множества А. Возьмём любой интервал V с центром в точке х0 ,скажем, длины σ>0. Пусть n таково, что длины отрезка ∆n меньше σ/2. Включая в себя точку х0, он целиком содержится в интервале V. Вместе с отрезком ∆n в интервал V попадет бесконечное число точек множества А. Следовательно, х0 есть предельная точка множества А, что и требовалось доказать.
Эта теорема также выражает принцип полноты числовой прямой, как и леммы Коши-Кантора и Бореля-Лебега.