Предел последовательности
Рассмотрим последовательность с общим членом 
, при 
члены последовательности неограниченно приближаются к 1. На языке математического анализа выражение «неограниченно приближается» означает, что какое бы малое число 
мы ни взяли, начиная с некоторого номера 
все члены последовательности будут сколь угодно мало отличаться от 
.
Определение 1. Число 
называется пределом последовательности 
, если для любого положительного числа существует такой номер , что при всех 
выполняется неравенство 
. Обозначение 
. Кратко определение предела записывается так: 
.
Неравенство равносильно двойному неравенству 
, которое показывает, что элементы 
при находятся в окрестности точки . Поэтому геометрически определение предела формулируется так.
Определение 2. Число называется пределом последовательности , если для любой -окрестности точки найдется такое натуральное число 
, что все значения , для которых , попадут в -окрестность точки .
Ясно, что чем меньше тем больше число , но в любом случае внутри -окрестности точки находится бесконечное число членов последовательности, а вне ее находится лишь конечное число членов последовательности.
Выясним геометрический смысл определения предела последовательности.
Неравенство |xn – a|<ε равносильно неравенствам -ε < xn - а <ε или а - ε < xn < a+ ε, которые показывают, что элемент xn находится в ε -окрестности точки а.
Рис.1
Поэтому определение предела последовательности геометрически
можно сформулировать так: число а называется пределом последовательности {xn}, если для любой ε-окрестности точки а найдется натуральное число N, что все значения xn , для которых n > N, попадут в ε -окрестность точки а (см. рис. 1).
Последовательность, имеющая предел называется сходящейся, а последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся.
Например, последовательность 
не имеет предела.
Теорема 1. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.
Для доказательства утверждения применим метод от противного.
Пусть 
и 
. Если А1≠А2, то фиксируем непересекающиеся окрестности U(A1), U(A2) точек А1, А2. В качестве таковых можно взять, например, δ-окрестности этих точек при δ< 
│А1–А2│. По определению предела найдем числа N1, N2 такие, что все члены последовательности 
с номерами n>N1 попадут в окрестность точки А1, а с номерами n>N2 в окрестность точки А2. Тогда при n>max{N1, N2} получим xn 
U(A1) 
U(A2). Но это невозможно, так как пересечение U(A1) U(A2)= 
.
Теорема 2.Если числовая последовательность имеет конечный предел, то она ограничена.
Доказательство: Пусть 
. Полагая в определении предела ε=1, найдем номер N такой, что 
n>N справедливо неравенство │xn–A│<1. Значит, при n>N имеем
│xn│<│A│+1. Если же теперь взять М>max{│x1│,│x2│,…,│xn│,│A│+1},
то получим, что n>N все члены последовательности ограничены │xn│<М.
Пример 1.Используя определение предела последовательности, докажем, что 
.
Решение.Зададим произвольное 
и рассмотрим модуль разности между 
-м членом последовательности и числом 1: 
. В соответствии с определением предела последовательности мы должны указать номер 
такой, что 
выполняется неравенство
. (1)
Для отыскания номера решим неравенство (1) относительно . Получим
. (2)
Из неравенства (2) следует, что в качестве можно взять целую часть числа 
: 
. В самом деле, если 
, то 
, т.е. справедливо неравенство (2), а значит, выполняется неравенство (1).
Итак, для произвольного мы указали такой номер , что 
выполняется неравенство 
. Это и означает по определению предела последовательности, что .