Частичные пределы, верхний и нижний пределы. Теорема Больцано-Вейерштрасса
Пусть 
– некоторая числовая последовательность. Рассмотрим произвольную возрастающую последовательность целых положительных чисел 
( 
). Выберем из члены с номерами :
.
Полученная числовая последовательность 
называется подпоследовательностью последовательности .
Теорема 3.Если 
, то любая подпоследовательность сходится к 
при 
.
Определение 3. Число называется предельной точкой (или частичным пределом) последовательности , если из последовательности можно выделить подпоследовательность , сходящуюся к .
Можно и по другому сформулировать определение предельной точки.
Определение 4. Число называется предельной точкой последовательности , если в любой 
-окрестности точки содержится бесконечно много членов последовательности .
На языке последовательностей теорема Больцано-Вейерштрасса формулируется так.