Решение. а) Заметим, что член последовательности с номером равен и больше
а) Заметим, что 
член последовательности с номером 
равен 
и больше 
. Это и означает по определению, что 
– неограниченная последовательность.
б) Очевидно, что в интервале 
находятся все члены последовательности с нечетными номерами, а значит, в этом интервале находится бесконечно много членов последовательности. Отсюда следует, что не является бесконечно большой.
Теорема 1. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.
Доказательство. Пусть 
и 
- бесконечно малые последовательности. Тогда для любого ε>0 существуют номера n1(ε/2) и n2(ε/2) такие, что для всех n> n1(ε/2)выполняется неравенство |xn|<ε/2 и 
n2(ε/2) 
|yn|<ε/2. Тогда, полагая n0=max(n1(ε/2), n2(ε/2)), получим, что для любого n>n1 |xn± yn|≤|xn|+|yn|<ε/2+ε/2=ε. Следовательно, {xn±yn} – бесконечно малая последовательность.
Теорема 2. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную является бесконечно малой последовательностью.
Доказательство. Пусть {хn} – бесконечно малая последовательность, а {уn} – ограниченная последовательность, т.е. существует такое число М>0, что для всех натуральных номеров выполняется неравенство │yn│≤М.
Зададим ε>0, в силу определения бесконечно малой последовательности существует такой номер N, что для всех n≥N выполняются неравенства │xn│< 
. Поэтому для всех n≥N имеем │xnyn│=│xn││yn│< 
M=ε, что и означает, что последовательность { xnyn} бесконечно малая.
Следствие. Произведение конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.
Теорема 3. Если последовательность – бесконечно большая, то начиная с некоторого номера определена последовательность 
, которая является бесконечно малой. Если последовательность – бесконечно малая и 
, то последовательность является бесконечно большой.
Пример 2.Доказать, что последовательность 
является: а) бесконечно большой при 
; б) бесконечно малой при 
.