І. Исследование функций и построение графиков

Материалы к самостоятельному изучению темы

«Применение производной»

І. Исследование функций и построение графиков.

Схема исследования:

  1. Найти область определения функции: Д(у).

Определение: Д(у) – это область допустимых значений переменной Х, при которых функция имеет смысл.

 

  1. Найти точки разрыва функции и ее односторонние пределы: .

 

  1. Исследовать функцию на четность, нечетность, периодичность.

Определение: Функция у = f (x) называется четной, если для любых значений х из Д(у) выполняется условие f (-x)= f (x).

Определение: Функция у = f (x) называется нечетной, если для любых значений х из Д(у) выполняется условие f (-x)= -f (x).

Определение: Функция у = f (x) называется общего вида (ни четной, ни нечетной), если для любых значений х из Д(у) f (-x)≠ -f (x) и f (-x)≠ f (x).

При построении графиков учесть, что график четной функции симметричен относительно оси ОУ, а нечетной – относительно начала координат.

Определение: Функция у = f (x) называется периодичнойс периодом Т≠0 , если для любых значений х из Д(у) выполняется условие f (x+Т)= f (x).

  1. Найти точки пересечения с осями координат (если это возможно элементарным путем):

а) с осью ОХ: у=0, вычисляем х

б)с осью ОУ: х=0, вычисляем у.

 

5. Найти все асимптоты графика функции.

Определение: Асимптотой графика функции у = f (x) называется прямая, к которой неограниченно приближается точка кривой при неограниченном удалении её от начала координат.

 

Виды асимптот:

1) горизонтальная асимптота

Пример:

       
   
 

 

 


Определение: Кривая у = f (x) имеет горизонтальную асимптоту у = b только в том случае, когда существует конечный предел функции .

Замечание: Если конечен только один из пределов или , то функция имеет лишь левостороннюю или правостороннюю горизонтальную асимптоту.

 

2) вертикальная асимптота

Пример:

 

 
 

 


Определение: Кривая у = f (x) имеет вертикальную асимптоту , если хотя бы один из пределов или равен бесконечности.

Замечание: 1. Вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции у = f (x) или на концах ее области определения.

2. Если функция непрерывна в точке , то в точке вертикальных асимптот быть не может.

 

 

3) наклонные асимптоты:

Определение: Кривая у = f (x) имеет наклонную асимптоту , если существуют конечные пределы:

Замечание: 1.Если при вычислении k=0, то у = b – горизонтальная асимптота.

2.Следует отдельно рассматривать случаи .

 

  1. Найти точки экстремума и интервалы возрастания и убывания функции.

Определение: Функция у = f (x) называется возрастающей на промежутке , если для любых значений и из этого промежутка из неравенства вытекает неравенство (т.е. большему значению аргумента соответствует большее значение функции).

Определение: Функция у = f (x) называется убывающей на промежутке , если для любых значений и из этого промежутка из неравенства вытекает неравенство (т.е. большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции).

Возрастающая и убывающая – это строго монотонные функции.

Определение: Функция у = f (x) называется неубывающей на промежутке , если для любых значений и из этого промежутка из неравенства вытекает неравенство .

Определение: Функция у = f (x) называется невозростающейна промежутке , если для любых значений и из этого промежутка из неравенства вытекает неравенство .

Невозрастающая и неубывающая - это монотонные функции.

 

Теорема (достаточное условие возрастания функции)

Если производная функции у = f (x) положительная внутри некоторого промежутка, то в этом промежутке функция возрастает.

Теорема (достаточное условие убывания функции)

Если внутри некоторого промежутка, то она убывает на этом промежутке.

Интервалы возрастания и убывания функции – это интервалы монотонности.

Экстремумы функции – это значение функции в точках экстремума.

 

Точки экстремума – это точки максимума и минимума.

Определение: Точка называется точкой максимума функции у = f (x), если в некоторой открытости точки выполняется неравенство .

Определение:Точка - называется точкой минимума функции у = f (x), если в некоторой окрестности точки выполняется неравенство: .

 

Теорема 1(необходимое и достаточное условие экстремума)

Для того чтобы точка являлась точкой максимума необходимым и достаточным является выполнение двух условий:

  1. - должна являться критической точкой (критические точки – это точки, в которых производная равна нулю или совсем не существует);
  2. при переходе через точку производная меняет свой знак с «+» на «–».

 

Теорема 2(необходимое и достаточное условие экстремума)

Для того чтобы точка являлась точкой минимума необходимым и достаточным является выполнение двух условий:

1. - должна являться критической точкой (критические точки – это точки, в которых производная равна нулю или совсем не существует);

2. при переходе через точку производная меняет свой знак с «–» на «+».

 

Схема нахождения интервалов возрастания, убывания и экстремумов функции.

  1. Найти (х).
  2. Найти критические точки.
  3. Исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки.
  4. Сделать вывод об интервалах возрастания и убывания функции, о наличии точек экстремума и найти экстремумы функции.

Примечание:Данное задание удобно выполнять с помощью таблицы:

Пусть - критические точки, причем

+ + – +
-
нет экстремума max min

 

7.Найти точки перегиба графика функции и интервалы его выпуклости вверх и вниз.

 

Определение: В некотором интервале кривая у = f (x) называется выпуклой вверх(выпуклой), если она лежит выше касательной проведенной в любой ее точке.

Определение: В некотором интервале кривая у = f (x) называется выпуклой вниз (вогнутой), если она лежит ниже касательной проведенной в любой ее точке.

Определение: Точка перегиба - это точка на кривой, в которой меняется направление её выпуклости.

 

Теорема (условия перегиба)

Точка - будет являться точкой перегиба, если выполняются следующие условия:

1. .

2. При переходе через точку меняет свой знак. Причем, если:

– в некотором интервале , то кривая вогнута ,

– в некотором интервале , то кривая выпукла .

 

Схема нахождения интервалов выпуклости и вогнутости:

1. Найти .

2. Найти точки, в которых или не существует.

3. Исследовать знак второй производной слева и справа от найденных точек.
Сделать вывод.

4. Найти значение функции в точках перегиба.

 

Таблица для выполнения 7 задания:

– =0 + =0 +

 

8.Построить график функции, используя все полученные результаты исследования. При необходимости следует найти дополнительно несколько точек графика функции.