Распределение Гаусса

Наиболее часто применяемое распределение ошибок – нормальное, или распределение Гаусса. Предположения:

1) искомая величина может принимать непрерывный ряд значений от до ,

2) центр распределения – одновременно его центр симметрии,

3) увеличению отклонения от центра соответствует уменьшение вероятности обнаружить его ( в данном .

Формула для распределения Гаусса .

Максимальное значение плотности вероятности . Зависимость от значения показана на рис.2:

 

 

Максимальное значение соответствует среднему значению . Поэтому его называют наиболее вероятным значением измеряемой величины.

С увеличением увеличивается вероятность больших ошибок, а значит, уменьшается . ( разброс результатов).

 

Каждому распределению соответствует доверительный интервал (на рис. 3 от до ), где произвольное отклонение от среднего значения . Его называют полушириной доверительного интервала.

 

 

Рис.3

 

Интегралы от функции Гаусса для разных пределов интегрирования вычислены и представлены в справочной литературе. Они определяют вероятность попадания результата во всю область значений . Для области от до + интеграл равен единице (достоверный факт, в этом интервале есть).

Обычно распределение характеризуют не самой полушириной , а относительной величиной . Именно она используется для определения погрешности многократных измерений. Вероятность того, что значение попало в доверительный интервал, обозначают . Она называется доверительной вероятностью. В таблице для величин указывается и . Так, при , т.е. при , получается , т.е. результатов находится в доверительном интервале.

Наиболее часто используются значения , приведённые в таблице:

 

0,68 0,95 0,997

 

Для определения погрешности результатов многократных измерений используют не ошибку отдельного наблюдения, а ошибку среднего значения:

, тогда погрешность случайной величины

и окончательный результат записывают в виде:

при ,

где коэффициент Стьюдента, зависящий и от количества результатов и от доверительной вероятности (вычислены по законам теории вероятности). Его значения приведены в таблице 2 для наиболее часто используемых доверительных вероятностей. Выбор доверительной вероятности зависит от характера измерений. При обычных измерениях можно ограничиться , равной 0,9 или 0,95. Если требования к надёжности результатов предъявляются высокие, то выбирают

Таблица 2

 
 
  6,3 2,9 2,4 2,1 2,0 1,9 1,8 1,8 1,7 1,7
12,7 4,3 3,2 2,8 2,6 2,4 2,3 2,1 2,1 2,0
31,8 7,0 4,5 3,7 3,4 3,0 2,8 2,6 2,5 2,4