ВВЕДЕНИЕ. Каждому физическому объекту присущ ряд свойств, большинство из которых удобно выражать числами
1. ЗАДАЧИ ИЗМЕРЕНИЙ
Каждому физическому объекту присущ ряд свойств, большинство из которых удобно выражать числами. Например, если мы имеем дело с куском медного провода, то к числу таких свойств в первую очередь следует отнести его диаметр, длину, массу, электропроводность, температурный коэффициент расширения и электрическое сопротивление. Некоторые свойства объекта труднее поддаются количественному описанию. В данном случае можно указать, например, на цвет, блеск или способность противостоять многократным изгибам, Однако и для всех этих свойств можно определить соответствующие количественные характеристики. Без их знания мы практически не можем описать объект так, чтобы это описание позволяло достаточно точное его воспроизведение.
Для того чтобы узнать числовые характеристики свойства предмета, необходимо определить, во сколько раз данная его характеристика больше (или меньше) соответствующей характеристики другого объекта, принятой за единицу. Операция сравнения величины исследуемого объекта с величиной единичного объекта называется измерением.
Так, например, за единицу длины принят метр, и в результате измерения некоторой длины L мы определяем, сколько метров содержится в этом отрезке. В основе таких измерений лежит эталон метра – расстояние между штрихами, нанесенными на стержне из особо стойкого сплава.
В 1960 г. XI Международной генеральной конференцией по мерам и весам было принято решение о замене метра новой основной единицей длины – длиной волны спектральной пинии одного из изотопов криптона – 86Kr. Она была принята равной для вакуума 6057 х 80211 ×10–10 м. Индекс внизу указывает, что этот знак уже ненадежен вследствие погрешностей измерений. Таким образом, по определению, 1 м = 1650763.73 l вак 86Kr.
В 1983 г. на XVII Международной генеральной конференции было введено в качестве новой единицы длины расстояние, которое свет проходит в вакууме за 3.335640951×10–9 с. Такая замена связана с тем, что скорость света, положенная в основу нового определения, может быть измерена значительно точнее, чем длина волны спектральной линии,
Все решения о замене старого эталона метра новым вызваны необходимостью иметь для основных физических измерений не образец подверженный всякого рода изменениям и деформациям, а неизменную физическую константу. Впрочем, никогда нет полной уверенности в том, что и она не меняется с течением времени. Это относится и к скорости света, которая сейчас принята равной 299 792 458 м/с.
Точно так же при измерении некоторой массы М мы устанавливаем, во сколько раз эта измеряемая масса превосходит массу эталонного образца в один килограмм. Разумеется, практически никогда не пользуются сравнением измеряемых величин с основными эталонами, которые хранятся в специальных государственных метрологических учреждениях. (В СССР таким является Всесоюзный научно–исследовательский институт метрологии – ВНИИМ). Вместо этого пользуются измерительными приборами, тем или иным способом сверенными с эталонами. Это относится как к приборам, с помощью которых измеряют длину, – различного рода линейкам, микрометру, измерительному микроскопу, – так и к определяющим время (часы), массу (весы), а также электроизмерительным, оптическим и другим приборам.
Следует помнить, что никакое измерение не может быть выполнено абсолютно точно. Его результат всегда содержит некоторую погрешность или как говорят, результат измерения отягчен погрешностью.
Измерения, которые были произведены при сравнении измерительных инструментов и приборов с эталонами, также отягчены большей или меньшей погрешностью. Очевидно, что, измеряя с помощью такого инструмента некоторую величину, мы, как правило, не можем сделать погрешность меньшей, чем та, которая определяется погрешностью измерительного устройства. Иначе говоря, если у нас есть линейка, про которую известно, что ее длина определена с относительной погрешностью 0.1% (то есть 1 мм при метровой линейке), то, применяя ее, нельзя пытаться измерить длину, скажем, с точностью до 0.01%. Это очевидное положение, к сожалению, иногда забывают.
Итак, в результате измерений мы всегда получаем нужную величину с некоторой погрешностью.
В задачу измерений входит не только нахождение самой величины, но также и оценка допущенной при измерении погрешности.
Принято различать прямые и косвенные измерения.
При прямом измерении мы непосредственно сравниваем величину нашего объекта с величиной единичного объекта, например, прикладывая образцовый метр к измеряемой длине, либо определяя искомое число прямо по показаниям измерительного прибора – силу тока по амперметру, вес по показаниям пружинных весов и т. д.
Однако гораздо чаще измерения проводят косвенно, например, площадь прямоугольника – по измерению его сторон, электрическое сопротивление – по измерениям силы тока и напряжения, концентрацию примеси – по интенсивности ее спектральных линий и т. д. Во всех случаях интересующее нас значение измеряемой величины получаем путем соответствующих расчетов.
Независимо от того, имеем ли мы дело с прямыми или косвенными измерениями, нам необходимо знать допускаемую при измерениях погрешность результата измерений, то есть найти, насколько измеренная нами величина отличается от ее истинного значения.
Подчеркнем сразу же, что точно узнать это нельзя. Если бы мы могли определить разность между измеренным и истинным значениями, то, учтя ее в виде поправки к результатам наших измерений, сразу же получили бы точное истинное значение, В действительности дело обстоит сложнее. Мы в лучшем случае можем лишь указать (да и то приближенно) интервал возможных значений измеряемой величины, внутри которого расположено ее действительное значение xист;иначе говоря, если измеренное значение – xизм, то в результате измерений мы можем написать
xизм – Dx < xист < xизм + Dx. (1)
Величину Dx называют погрешностью измерения; чем меньше Dx, тем точнее выполнено измерение. Неравенство (1) нестрогое. Оно выполняется лишь с некоторой степенью достоверности, но об этом будет говориться ниже.
Как уже указывалось, всякое измерение должно быть выполнено так, чтобы можно было установить с достаточной надежностью границы интервала, определяемого равенством (1).
С этой целью (если мы ничего не знаем о точности наших измерительных приборов и о погрешностях в процессе измерения) следует сначала сделать несколько наблюдений в одинаковых условиях. Здесь могут возникнуть две ситуации.
1. Результаты измерений во всех опытах (наблюдениях) повторились с той точностью, которую допускает наш измерительный прибор.
2. Каждое отдельное наблюдение дало свой, слегка отличный от других наблюдений, результат.
Если имеет место первый случай, то это еще не значит, что нами получено абсолютно точное значение. Наоборот, мы можем быть почти уверены в том, что переход к более точному измерительному прибору даст несколько отличное от полученного нами значение измеряемой величины. Если мы измерили длину стола линейкой с делениями 1 см и получили число 123 см, то можем быть уверены, что повторные наблюдения не приведут к другому результату. Если же возьмем линейку с ценой деления 1 мм или еще лучше – 0.1 мм, то легко убедимся, что вместо 123 во всех наблюдениях мы получим, например, такой ряд: x = 123.21, 123.27, 123.30, 123.22, 123.28 см то есть перейдем от первой ко второй ситуации. Несмотря на то, что в первом случае нами получено одно постоянное значение 123, а во втором – пять различных, мы все же понимаем, что качество второй серии наблюдений выше – они точнее.
Представляется правильным за лучшую оценку истинного значения результата измерения принять среднее значение из всех величин, полученных в процессе отдельных наблюдений.
Действительно, обычно для этого пользуются средним арифметическим
<x> = (x1 + x2 + ... xn)/n = 123.256 или, округляя <x> = 123.26.
Здесь xi – результат i–го наблюдения, n – общее число наблюдений. В дальнейшем дадим обоснование именно такой оценки, хотя она не является единственно возможной.
Отметим сразу же, что в измерениях, для которых имеет место непредсказуемый разброс результатов от одного наблюдения к другому, проявляется роль так называемых случайных погрешностей, то есть погрешностей, вызванных различными малыми изменениями условий опыта, которые практически невозможно ни предусмотреть, ни устранить. На первый взгляд кажется, что ничего нельзя сказать о величине этих погрешностей. В действительности, как будет показано дальше, они подчиняются особым – статистическим – закономерностям, которые позволяют достаточно надежно оценить значение погрешностей и их влияние на конечный результат измерений. Пока же ограничимся выводом, что если в результатах опыта проявляется влияние случайных погрешностей, то с целью их выявления и учета необходимо делать несколько наблюдений. Ниже будет показано, что многократные наблюдения дают возможность также уменьшить величину случайной погрешности.
Если мы знаем, что случайная погрешность настолько мала, что не выявляется в данных условиях опыта, то можно ограничиться одним наблюдением, а при малейшем сомнении в его правильности – двумя или тремя, причем роль повторных наблюдений в данном случае сводится только к проверке того, не произошла ли при первом наблюдении грубая погрешность; именно с этой целью кассир почти всегда пересчитывает деньги два раза, и совпадение результатов служит известной (правда, не абсолютной) гарантией того, что счет верен.
2. О ТОЧНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ
Под точностью измерений понимается их качество, отражающее близость результатов к измеряемой величине. Если общая относительная погрешность измерений, включающая и систематическую и случайную составляющие, S, то количественно точность принимается равной 1/S.
Точность, как и относительная погрешность, – величина безразмерная[1]).
Часто стараются произвести измерения с наибольшей достижимой точностью то есть сделать погрешность измерения по возможности малой. Однако следует иметь в виду, что чем точнее мы хотим измерить какую-либо величину, тем труднее это сделать. Поэтому не следует требовать от измерений большей точности, чем это необходимо для решения поставленной задачи. Для изготовления книжной полки длину досок вполне достаточно измерять не точнее, чем до 0,5¸1 см, то есть с погрешностью около 1%.
Для производства некоторых деталей шарикоподшипников допустима погрешность не более 0.001 мм, или около 0.01%, а при измерении длин волн спектральных линий иногда величина погрешности не должна превышать 10–11 см, или около 10–5%. Не следует увлекаться получением излишней точности, если она не нужна, но необходимо прилагать максимум усилий и не жалеть времени и труда для получения лишнего десятичного знака, когда это требуется. Надо иметь в виду, что очень часто именно повышение точности измерений позволяет вскрыть новые закономерности.
Действительно, всякий закон, устанавливающий количественную связь между физическими величинами, выводится в результат опыта, основой которого служат измерения. Он может считаться верным лишь с той степенью точности, с какой выполнены измерения, положенные в его основу,
Так, например, существует хорошо проверенный со времен Ломоносова и Лавуазье закон сохранения вещества, по которому сумма масс веществ, вступающих в химическую реакцию, равна массе продуктов реакции. Однако при химической реакции поглощается или выделяется энергия. Вследствие этого в соответствии с теорией относительности масса продуктов реакции несколько отличается от суммы реагирующих масс. При сгорании угля это различие составляет 1 г на 3000 т угля. Чтобы заметить его, нужно произвести взвешивание с относительной погрешностью не более 3×10–8%.
Следовательно, лишь в указанных пределах точности (3×10–9) справедлив закон сохранения массы при реакции горения. Научившись взвешивать с такой точностью, мы сумели бы непосредственно обнаружить это изменение массы. Сейчас оно установлено только косвенным путем, так как нужной точности взвешивания мы не достигли.
Однако при ядерных реакциях, когда количество выделяющейся энергии на единицу массы реагирующих веществ гораздо больше, изменение массы может быть относительно легко обнаружено.
В качестве другого примера можно указать, что повышение точности измерений плотности воды привело в 1982 г. к открытию тяжелого изотопа водорода – дейтерия, ничтожное содержание которого в обычной воде немного увеличивает ее плотность.
Почти так же проведенные Рэлеем в 1894 г. точные измерения плотности азота, выделенного из воздуха, показали, что она несколько выше плотности азота, полученного разложением чистого аммиака. Хотя это различие составляет всего около 5 мг/л, оно побудило предсказать примесь к атмосферному азоту более тяжелого газа и привело Рамсая и Рэлея в 1895 г. к открытию инертного газа – аргона (о существовании такой группы газов до этого и не предполагали).
Можно было бы привести еще ряд примеров новых открытий, полученных в результате увеличения точности измерений.
Может быть, наиболее важное из них – это изменение массы движущихся тел, требуемое теорией относительности, которая приводит к соотношению
m = m0(1 – v2/c2)–1/2 ,
где m0 – масса покоящегося тела, m – движущегося со скоростью v, c – скорость света.
В силу малости v/c ко времени создания теории относительности m всегда было равно m0, так как недостаточная точность измерений не позволяла их различать. По мере увеличения точности измерений и перехода к большим скоростям v такое изменение массы удалось наблюдать. Сейчас соотношение (2) имеет не только теоретический интерес, но и используется в инженерных расчетах. Из сказанного видно, как иногда важно стремиться к максимальному увеличению точности. Для того чтобы этого достичь, нужно руководствоваться определенными правилами и приемами при производстве самих измерений и обработке полученных результатов. Хотя рекомендации в этом отношении не могут быть универсальными, но многие общие приемы хорошо разработаны и будут здесь изложены.