Обычно пользуются соотношением, написанным в виде
P(g1nS < s < g2nS) = a. (41)
При выбранном значенииa соответствующие значения g1и g2 находятся из табл. IV.
Приведемдва примера пользования табл. IV.
1. Средняя квадратическая погрешность, определенная из 5 измерений, равна 2. Нужно вычислить доверительный интервал для s с надежностью 0.95. Из табл. IV для n = 5 иa = 0.95 имеем g1 = 0.6 и g2 = 2.9.
Для s можем написать выполняемое с вероятностью 0.95 неравенство:
0.6´2 < s < 2.9´2 или 1.2 < s < 5.7.
Мы видим, что границы, в которых лежит s, очень широки и асимметричны (интервал от 2 до 1.2 почти в пять раз меньше интервала от 2 до 5.7).
2. При 40 измерениях g1 = 0.8, g2 = 1.3 и получаем для s неравенство
1.6 < s < 2.6.
Интервал этот значительно более узкий и почти симметричный.
Если пользоваться при n = 40 формулой (38), то
40Ss = s/[2×(n – 1]1/2 = 2/781/2 » 2.
Доверительной вероятности 0.95 соответствует погрешность ss, и для s можно с вероятностью 0.95 написать: 1.55 < s < 2.45.
Как видим, в этом случае оценки, сделанные по строгим и приближенным формулам, практически не различаются между собой. Легко показать, что при 5 или 10 измерениях это различие будет весьма значительным.
Положим, что есть два ряда измерений одной и той же величины: один ряд содержит n1, другой – n2 измерений. Для этих рядов получены дисперсии n1S12 и n2S22.
Обозначения выберем так, чтобы S12 было больше S22. Определим величину J следующим образом:
J = [(n2 – 3)/(n2 – 1)]´[n1S12/n2S22] . (42)
Можно показать, что
sJ=[2×(n1 + n2 – 4)/(n1 – 1)(n2 – 5)]1/2.(43)
Положим
R = |J – 1|/sJ.
Это число характеризует, существенно или несущественно различаются между собой выборочные дисперсии S12 и S22. Если R > 3, то расхождение между S1 и S2 существенно. Если R < 3, то – несущественно. Такой критерий, предложенный В.И. Романовским [15] и носящий его имя, соответствует уровню значимости 0.01. Другой критерий – критерий Фишера (см., например, [l8] позволяет с помощью специальных таблиц сличать дисперсии при разных уровнях значимости. В практической работе можно рекомендовать более простой критерий Романовского. В качестве примера приведем сопоставление результатов определения содержания углерода в ряде проб одного и того же соединения [11].
Было выполнено две серии измерений разными лаборантами: в одной серии сделано 20 определений, в другой – 13. Результаты сведены в табл.5.
Таблица 5. Сравнение результатов анализа
| Номер измерения | Содержание C, % | Номер измерения | Содержание C, % | ||
| Серия 1 | Серия 2 | Серия 1 | Серия 2 | ||
| 4.40 | 4.42 | 4.66 | 4.57 | ||
| 4.66 | 4.47 | 4.53 | 4.58 | ||
| 4.42 | 4.70 | 4.90 | 4.66 | ||
| 4.59 | 4.72 | 4.50 | |||
| 4.55 | 4.53 | 4.66 | |||
| 4.45 | 4.55 | 4.80 | |||
| 4.55 | 4.60 | 4.36 | |||
| 4.39 | 4.64 | 4.75 | |||
| 4.75 | 4.29 | 4.28 | |||
| 4.72 | 4.52 | 4.45 |
Отсюда S12 /S22 = 2.12, п1 = 20, n2 = 13, J = 1.77, sJ = 0.62, R = 1.24 < 3.
Следовательно, разницу в точности анализов двух лаборантов нельзя считать значимой.
9. СРАВНЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ
Пусть для двух рядов измерений одной и той же величины получены значения <x>1 и <x>2. По прежнему полагаем, что <x>1 определено из n1 а <x>2 из n2 измерений. В каком случаеможно считать расхождение между <x>1 и <x>2 значимым, в каких – случайным?
Иначе говоря, следует установить, насколько значимо |<x>1 – <x>2| отлично от нуля.
Дисперсии S12 и S22 величин x1i и x2k равнысоответственно
n1S2 = iSп1(<x>1 – x1i)2/(n1 - 1) и n2S2 = iSп2(<x>2 – x2k)2/(n2 – 1) (44)
Дисперсия S 2 разности (<x>1 – <x>2) будет
S2 = [(n1 – 1)S12 + (n2 – 1)S22]/[(n1 – 1) + (n2 – 1)].
Можно показать, что величина
t = [(<x>1 – <x>2)/S]×[n1n2/(n1 + n2)]1/2 (45)
– это тот же коэффициент Стьюдента, который используется для определения доверительного интервала при небольшом числе измерений.
Определим, значимо ли расхождение результатов двух серий анализов, приведенных в табл.5.
Из нее следует
<x>1 = 4.5655, <x>2 = 4.5577, <x>1 – <x>2 = 0.008.
20S2 = 0.003, 13S2 = 0.014, S2 = (0.003´19 + 0.014´13)/31 = 0.008.