Разложение некоторых элементарных ф-ций в ряде Маклорена
Разложение функции f(x)=ex в ряд Маклорена:
f(x)=f′(x)=f″(x)=…=f(n)(x)=…=ex.
f(0)=f′(0)=f″(0)=…=f(n)(0)=…=1.
Составим для функции f(x)=ex формально ряд Маклорена:
1+ 
.
Найдём области сходимости этого ряда.
при любых x, следовательно, областью сходимости ряда является промежуток (-∞;+∞). Заметим, что так как ряд сходится абсолютно, то 
при любых х и тем более 
при любых х. Так как f(n+1)(x)=ex и f(n+1)(с)=eс, то 
=ec 
=0. Таким образом, имеет место разложение при x 
(-∞;+∞)
ex=1+
64) Применение рядов к приближенным вычислениям значений ф-ции, определённых интегралов
Eсли подинтегральная функция раскладывается в степенной ряд, а пределы интегрирования принадлежат интервалу сходимости этого ряда, то возможно приближенное вычисление интеграла с наперед заданной точностью.
Вычислить интеграл 
с точностью до 0,001.
Решение.
Проверим, можем ли мы отбросить остаток после второго члена полученного ряда.
.
Следовательно, 
.