Объем и площадь n-мерной сферы
На основании размерности для объема n-мерной сферы радиусом r, для объема шарового слоя толщиной dr и для площади сферы получаем
,
,
.
Найдем постоянную 
, вычислив сходящийся интеграл
по всему пространству в декартовых и сферических координатах.
В декартовых координатах
,
,
тогда
,
где использован интеграл Пуассона (доказывается в курсе ММФ)
.
В сферических координатах
,
тогда
,
где использовано
.
Гамма-функция вычисляется по формулам
Г(n + 1) = n!, 
,
Г(z + 1) = z Г(z),
,
, 
, 
,
при 
.
Сравниваем результаты в декартовых координатах
и в сферических координатах
,
находим
.
В результате объем n-мерного шара, шарового слоя и площадь сферы
, (П.2.1)
. (П.2.2)
. (П.2.3)
В частности при 
с учетом 
получаем известные из школы соотношения
, 
, 
.
Эллипсоид с полуосями 
удовлетворяет уравнению
.
Сравниваем с уравнением сферы
,
обобщаем (П.2.1)
,
находим объем n-мерного эллипсоида
. (П.2.1а)