Статистический интеграл вращательного движения
Молекула массой m состоит из двух одинаковых атомов, находящихся на расстоянии 2r и вращающихся вокруг центра масс. Найдем статистический интеграл вращений при температуре Т.
При вращении изменяется угловое положение атомов. Используем сферические координаты с центром в точке симметрии молекулы. На рисунке черный круг – атом, второй атом в симметричной точке не показан.
При вращении изменяются углы φ и θ, молекула движется по окружностям с радиусами, соответственно, 
и r. Линейные скорости выражаем через угловые скорости и радиусы окружностей
– вдоль 
,
– вдоль 
.
Обобщенными координатами фазового пространства являются углы φ и θ. Для нахождения обобщенных импульсов, соответствующих этим координатам, используем уравнение Лагранжа, связывающее импульс со скоростью:
.
Жозеф Луи Лагранж (1736–1865)
Функция Лагранжа
зависит от координат и скоростей. При отсутствии потенциальной энергии функция Лагранжа равна кинетической энергией. Для двухатомной молекулы с моментом инерции 
относительно прямой, перпендикулярной к оси молекулы и проходящей через центр масс, получаем
.
Откуда обобщенные импульсы
,
.
Угловые скорости выражаем через импульсы
,
.
Результаты подставляем в
,
и находим гамильтониан
.
Статистический интеграл частицы (2.17)
,
где
,
получает вид
.
Интегрируем вначале по j, затем по pq, pj и в конце по θ. Интегралы по pq и по pj сводятся к интегралу Пуассона
,
находим
,
.
В результате статистический интеграл вращательного движениямолекулы
. (П.3.6)