Модель многомерного объекта
Предположим, что технологический процесс можно описать математической моделью вида
y=b0+b1×x1+…+bn×xn+b12×x1×x2+…+bn-1,n×xn-1×xn, (25.4)
где y – выходной параметр процесса; b0,b1, …,bn-1,n –искомые неизвестные коэффициенты процесса; x1,…,xn – входные параметры процесса. Соотношения такого вида называются уравнениями регрессии.
Например, для процесса (рис. 25.2), имеющего три входных параметра (фактора) уравнение (25.4) примет вид:
y=b0+b1× x1+b2× x2+b3× x3+b12×x1× x2+b13× x1× x3+b23× x2× x3 (25.5)
Чтобы определить коэффициенты математической модели процесса необходимо провести эксперимент по соответствующему плану, например, по плану полного факторного эксперимента. Количество опытов в эксперименте определяется по формуле N=2n, где n – количество факторов. Входные воздействия принимают минимальные и максимальные значения. Для упрощения вычислений нужно перейти от физических переменных x1,… xn к кодированным по формуле:
zi = 
, i=1,2,3 (25.6)
Здесь xi0 – значение фактора на базовом (нулевом) уровне, равное среднему значению между минимальным и максимальным значениями; ∆xi – интервал варьирования по данному фактору.
В случае трех входных параметров план проведения эксперимента имеет вид, представленный на рис. 25.3. Значение –1 соответствует минимальному значению входного параметра, +1 соответствует максимальному значению входного параметра.
В соответствии с методом наименьших квадратов производится вычисление коэффициентов:
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, i=1,2,…,N (25.7)
Коэффициент регрессии b (b0, b1,… и т.д.) считается значимым, если выполняется условие
, 
, (25.8)
где Sb – среднеквадратичная ошибка в определении коэффициентов регрессии; tТ– табличное значение критерия Стьюдента, которое выбирается для числа степеней свободы f1=m-1.
Для расчета дисперсии воспроизводимости нужно выполнить дополнительно m опытов (m<N) по любой строчке плана, например, при значениях входных факторов на базовом уровне. В результате получаются дополнительные значения экспериментальных данных y1д, y1д, …,ymд. Тогда
Sy2= 
, yoc= 
, k=1,…,m
В табл.25.1 приведены значения критерия Стьюдента.
Таблица 25.1
| Число степеней свободы f1 | |||||||
| 12,71 | 4,30 | 3,18 | 2,78 | 2,57 | 2,45 | 2,36 |
В случае невыполнения условия (25.8) соответствующий коэффициент считается незначимым и приравнивается нулю.
Проверка адекватности (соответствия) полученного уравнения регрессии экспериментальным данным проводится с помощью критерия Фишера. Для этого вычисляются
, F= 
,
где 
– оценка дисперсии адекватности; B – число значимых коэффициентов уравнения регрессии; yэj, ypj – экспериментальное и рассчитанное по уравнению (25.5) значение y в j-ом опыте.
Определяется также табличное значение критерия Фишера FТ из таблицы по числу степеней свободы f1 и числу степеней свободы f2=N-B.
Если F<FТ, то уравнение регрессии рассматривается как модель исследуемого процесса.
В табл. 25.2 приведены коэффициенты критерия Фишера.
Таблица 25.2
| Число степеней свободы f1 | Число степеней свободы f2 | |||||
| 161,40 | 199,50 | 215,70 | 224.60 | 320,20 | 234,00 | |
| 18,51 | 19,00 | 19,16 | 19,25 | 19,30 | 19,33 | |
| 10,13 | 9,55 | 9,28 | 9,12 | 9,01 | 8,94 | |
| 7,71 | 6,94 | 6,59 | 6,39 | 6,26 | 6,16 | |
| 6,61 | 5,79 | 5,41 | 5,19 | 5,05 | 4,95 | |
| 5,99 | 5,14 | 4,76 | 4,53 | 3,39 | 4,28 | |
| 5,99 | 4,74 | 4,35 | 4,12 | 3,97 | 3,97 |
Если полученное уравнение не адекватно процессу, то нужно перейти к более сложному виду математической модели, вновь провести опыты и обработать их результаты. Если уравнение адекватно процессу, то нужно от кодированных переменных перейти к физическим по формуле (25.6).