Производная и эластичность нелинейной функции
Несколько сложнее дело обстоит с нелинейными функциями: их производная все время меняется. Производную криволинейной функции можно определить только в конкретной точке. Для того, чтобы определить ее графически, нужно провести касательную к графику функции в этой точке. (Рис. 10.)
Касательная – линия, которая имеет с графиком функции только одну общую точку.
(Рис. 10.)
Наклон касательной в точке A намного меньше, чем в точке B. Значит, и производная в точке A меньше, чем в точке B. Если рассматривать как и раньше прямые линии, то для одинаковых значений приращения аргумента ∆х1=∆х2, значения приращений функции будут разными ∆у1>∆y2.
В случае криволинейной функции наклон касательной совпадает с наклоном функции только в одной точке – точке касания. Значит, непосредственно вычислить производную криволинейной функции в какой-либо точке можно только по очень небольшим (точнее, сказать, бесконечно (исчезающе) малым) изменениям переменных вокруг этой точки. В математике такие изменения называются дифференциалами и обозначаются не греческой буквой "дельта" (∆), как обыкновенные изменения, а латинской d. Таким образом, производная – это просто отношение дифференциалов зависимой и независимой переменных:
Такую запись принято читать как "игрек-штрих равно дэ-игрек по дэ-икс". Смысл такой записи состоит в том, что мы изменяем независимую переменную x на некоторую очень малую величину dx, затем определяем, на какую величину dy изменилась зависимая переменная y, и делим эти изменения одно на другое точно так же, как несколько раньше поступали с более крупными изменениями, полученными при анализе касательных.
Теперь опять перейдём к эластичности, но уже кривой линии. Рассуждая аналогично, как в случае с линейной функцией, запишем формулу:
