Рівняння площини у відрізках на координатних осях. Рівняння площини, що проходить через три задані точки. Обчислення відстані від точки до площини
Розглянемо площину, яка у системі координат 
задана загальним рівнянням , у якому 
. Тоді в результаті ділення обох частин на коефіцієнт 
це рівняння можна переписати у вигляді
,
де 
Можна бачити, що точки 
задовольняють рівняння , тобто належать площині і є точками перетину цієї площини з осями координат (Рис.28.1).
Рис. 28.1
Таким чином, якщо відомі точки перетину площини з осями координат, то її рівняння може бути записаним у вигляді . Оскільки числа 
з точністю до знаку співпадають з довжинами відрізків, які площини відтинає на координатних осях: 
, то рівняння ще називаються рівнянням площини у відрізкахна координатних осях.
Розглянемо тепер три довільні точки 
, які не знаходяться на одній прямій. Як відомо, тоді існує єдина площина, що проходить через ці точки. Знайдемо її рівняння.
Для цього візьмемо на площині довільну точку 
і розглянемо вектори 
(Рис.28.2):
Рис. 28.2
Тепер, якщо взяти вектори 
то вони знаходяться у одній площині і є компланарними. Тоді їх мішаний добуток має дорівнювати нулю:
Рівняння містить 
- радіус-вектор довільної площини і є векторною формою рівняння площини, що проходить через три задані точки. Координатну форму рівняння отримаємо, коли скористаємося формулою для мішаного добутку:
Після обчислення визначника перетвориться у лінійне рівняння відносно 
, яке і є загальним рівнянням площини, що проходить через три задані точки.
Розв'яжемо методами аналітичної геометрії задачу, яка має важливе значення для теорії навігації і картографії. А саме, визначення відстані від заданої точки до заданої площини. Нехай у системі координат 
задано точку 
і площину, яка визначається рівнянням . Проведемо з точки 
на площину перпендикуляр, який перетне її у точці 
(Рис.28.3). Тоді довжина цього перпендикуляра 
і є відстань від точки до площини. Розглянемо вектори 
і 
- одиничний вектор, нормальний до площини.
Рис. 28.3
Оскільки ці вектори колінеарні і 
а 
, то 
Знак залежить від розміщення точки 
відносно площини. Позначимо 
, 
. Тоді з векторного трикутника 
(Рис.28.3) маємо:
Але точка 
належить площині і її радіус-вектор 
має задовольняти векторне рівняння . В результаті підстановки у знаходимо
.
Оскільки 
, то 
.
Абсолютні величини лівої та правої частин останньої рівності мають співпадати.
Остаточно знаходимо формулу для відстані:
