Линейные дифференциальные уравнения первого порядка, структура общего решения линейного дифференциального уравнения, метод вариации произвольного постоянного
Опр. Линейным дифференциальным уравнением n-го порядканазывается уравнение, в которое неизвестная функция y(x)и её производные входят линейно, т.е. в первой степени:
 
Структура общего решения линейного дифференциального уравнения
|
Общее решение y(x) линейного однородного дифференциального уравнения есть линейная комбинация функций из фундаментальной системы решений этого уравнения:
y(x) = C1 y1(x) + C2 y2(x) + …+ Cn yn(x).
Метод Лагранжа (метод вариации произвольных постоянных) — метод для получения общего решения неоднородного уравнения, зная общее решение однородного уравнения без нахождения частного решения.
16) Линейное дифференциальное уравнение энтого порядка
Линейным дифференциальным уравнением n-го порядканазывается уравнение, в которое неизвестная функция y(x)и её производные входят линейно, т.е. в первой степени:
|
|
17) Теорема о существовании единственности решения задачи Коши для линейного дифференциального уравнения энтого порядка
Теорема существования и единственности решения задачи Коши для линейного уравнения: если функции f(x), pi(x), i = 1, 2, …, n непрерывны на интервале (a, b), x0 - произвольная точка этого интервала, то для любых начальных условий
|
существует единственная функция y(x), определённая на всём интервале (a, b) и удовлетворяющая уравнению 
;
и начальным условиям
|
|
18) Линейная зависимость и линейная независимость системы функции
Функции y1(x), y2(x), ..., yn(x), определённые на отрезке [a;b], называются линейно зависимыми на [a;b] , если существуют постоянные α1, α2, ..., αn , не равные нулю одновременно и такие, что α1y1(x) + α2y2(x) + ... + αnyn(x) = 0 для всех x из отрезка [a;b].
В противном случае функции y1(x), y2(x), ..., yn(x) называются линейно независимыми.
Линейную зависимость и линейную независимость функций определяют также на (a;b) , (a;b] , [a;b) , на бесконечных промежутках.