Обобщенный МНК

При нарушении гомоскедастичности (Наличие одинаковой дисперсии. Данные являются гомо-ми, если их вариации соответствуют случайным отклонениям по тому же мн-ву. Это отличается от гетероскедастичности (heteroscedasticity), т. е. наличия различной дисперсии.) и наличии автокорреля­ции ошибок рекомендуется традиционный МНК заменять обобщенным методом. ОМНК применяется к преобразованным данным и позволяет получать оценки, которые обладают не только свойством несмещенности, но и имеют меньшие выборочные дисперсии. Суть ОМНК – минимиз-я обобщенной суммы квадратов отклонений( учет ненулевых ковариаций случ-ой ош-ки для разных наблюденийи непостоянной дисперсии ош-ки)

В общем виде для уравнения y_i=a+bx_i+e_i при где K_i – коэф-т пропор-ти. Модель примет вид: y_i=+x_i+e_i . В ней остаточные величины гетероскедастичны. Предполагая в них отсутствие автокорреляции, можно перейти к уравнению с гомоскедастичными остатками, поделив все переменные, зафик­сированные в ходе i-го наблюдения на . Тогда дисперсия остатков будет величиной постоянной. От регрессии у по х мы перейдем к регрессии на новых переменных: y/ и х/. Уравнение регрессии примет вид: . По отношению к обычной регрессии уравнение с новыми, преобразованными переменными представляет собой взвешен­ную регрессию,в которой переменные у и х взяты с весами . Коэф-т регрессии b можно определить как

 

Как видим, при использовании обобщенного МНК с целью корректировки гетероскедастичности коэффициент регрессии b представляет собой взвешенную величину по отношению к обычному МНК с весами 1/К.Аналогичный подход возможен не только для уравнения парной, но и для множественной регрессии. Применение в этом случае обобщенного МНК приводит к то­му, что наблюдения с меньшими значениями преобразованных переменных х/К имеют при определении параметров регрессии относительно больший вес, чем с первоначальными переменны­ми