Применение дифференциала к приближенным вычислениям
1 В приближенных вычислениях встречаются понятия абсолютной и относительной погрешностей.
Абсолютной погрешностью приближенной величины 
называется абсолютная величина разности между точным значением 
этой величины и ее приближением
.
Чаще и, следовательно, 
неизвестны. Вводят понятие.
Границей абсолютной погрешности приближенной величины называется любое число 
, не меньшее абсолютной погрешности 
,
.
Чем меньше , тем точнее найдена . Зная границу погрешности, еще нельзя судить о качестве приближения.
Относительной погрешностью называется отношение и модуля приближенного значения
.
Границей относительной погрешности 
называется
.
Относительная погрешность 
и ее граница 
выражаются в процентах.
Пример. Расстояние от точки 
до 
известно с точностью до 1 км, 
км. Длина человека известна с точностью до 10 см, 
см. Определить границы относительной погрешности этих измерений.
Решение.
км, 
км,
;
см, 
см,
.
Таким образом, измерение 
точнее, чем 
.
2 Пусть известно значение 
и ее производная в точке 
. Покажем, как найти 
в некоторой близкой точке 
.
,
,
,
,
.
Абсолютная погрешность не превышает 
,
где 
– наибольшее значение 
на 
.
Пример. Найти 
.
Решение.
,
, 
, 
(в радианах), 
;
,
,
.
3 Дифференциалы применяются при оценке погрешности.
Пусть величины 
и 
связаны функцией 
и известно приближенное значение 
величины с предельной абсолютной погрешностью 
. Следовательно, в качестве приближенного значения получим 
. Для подсчета предельной абсолютной погрешности 
заметим, что
, 
,
следовательно, если 
мало, то 
мало и
,
то есть
,
.