Теорема Ролля

Если функция непрерывна на сегменте , дифференцируема во всех его внутренних точках и на концах сегмента обращается в нуль , то ее производная обращается в нуль хотя бы в одной внутренней точке с этого сегмента.

Доказательство. Так как непрерывна на сегменте, следовательно, она достигает на этом сегменте своего наибольшего значения и наименьшего значения (свойства непрерывных функций).

Если , то на . Тогда в любой точке .

Пусть , то одно из этих значений, например, . Тогда наибольшее значение достигается в точке : . Следовательно, , то есть , так как . Тогда по теореме Ферма .

Если пересекает ось в точке и , то между и существует точка , , в которой касательная параллельна оси (рис. 7).

Рисунок 7 –

Пример. На задана функция . Проверить выполнение теоремы Ролля.

Решение. Функция на удовлетворяет условиям теоремы Ролля, она непрерывна и дифференцируема на и равна нулю .

,

, .

Замечание. Если не выполнено условие дифференцируемости во внутренних точках , то утверждение Ролля может быть неверным.

Пример. непрерывна . , однако, внутри данного сегмента. Это потому что в точке не существует. Нет касательной, параллельной оси .