Пример17.1
Для множества 
указать точную верхнюю и точную нижнюю грани.
(Ответ: 
; 
).
Теорема17.1.
Любое непустое ограниченное сверху (снизу) числовое множество имеет точную верхнюю (нижнюю) грань.
Доказательство
Пусть X – непустое множество, ограниченное сверху. Тогда существует множество Y чисел, ограничивающих множество Х сверху.
Из определения следует: 
.
Причем, 
, тогда т.к. 
- с- верхняя грань,
наименьшая из верхних граней, следовательно 
.
Случай существования точной нижней грани рассматривается аналогично.
Предел числовой последовательности
Пусть каждому 
по некоторому закону поставлено в соответствие действительное число xn. Тогда говорят, что определена последовательность чисел x1,x2,…,xn или {xn}.
Число xn –элемент последовательности.