Задание. а) вычислить смешанное произведение трех векторов;
1. Даны векторы a, b и с. Необходимо:
а) вычислить смешанное произведение трех векторов;
б) найти модуль векторного произведения;
в) вычислить скалярное произведение двух векторов;
г) проверить, будут ли коллинеарны или ортогональны два вектора;
д) проверить, будут ли компланарны три вектора.
| Варианты | Векторы | Смешанное произведение | Модуль векторн. произвед. | Скалярное произвед. | Коллине арны или перпенд.к. векторов | Компланарность векторов |
| 
| 
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
|
| 
| |
| 
| 
| 
|
| 
| |
| 
| 
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
|
| 
| |
| 
| 
| 
|
| 
| |
| 
| 
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
|
| 
| |
| 
| 
| 
|
| 
| |
| 
| 
| 
|
| 
| |
| 
| 
| 
|
| 
| |
| 
| 
| 
|
| 
| |
| 
| 
| 
|
| 
| |
| 
| 
| 
|
| 
| |
| 
| 
|
|
|
| |
| 
| 
| 
|
| 
| |
| 
| 
| 
|
| 
| |
|
| 
| 
|
| 
| |
| 
| 
| 
|
| 
| |
| 
| 
| 
|
| 
| |
| 
| 
| 
|
| 
| |
| 
| 
| 
|
| 
| |
| 
| 
| 
|
| 
| |
| 
| 
| 
|
| 
| |
| 
| 
| 
|
|
| |
| 
|
| 
|
| 
| |
| 
| 
| 
|
| 
| |
| 
| 
| 
|
| 
|
2. Вершины пирамиды находятся в точках А, В, С и D. Вычислить:
а) площадь указанной грани;
б) объем пирамиды ABCD.
| Варианты | Координаты вершины А | Координаты вершины В | Координаты вершины С | Координаты вершины Д | Грань ( пункт а) |
| A(3, 4, 5) | В(1, 2, 1) | С(-2, -3, 6) | D(3, -6, -3) | ACD | |
| А(-7, -5, 6) | В(-2, 5, -3) | С(3, -2, 4) | D(l, 2, 2) | BCD | |
| A(1, 3, 1) | В(-1, 4, 6) | С(-2, -3, 4) | D(3, 4, -4) | ACD | |
| А(2, 4, 1) | В(-3, -2, 4) | С(3, 5, -2) | D(4, 2, -3) | ABD | |
| A(-5, -3, -4) | В(1, 4, 6) | С(3, 2, -2) | D(8, -2, 4) | ACD | |
| A(3, 4, 2) | В(-2, 3, -5) | С(4, -3, 6) | D(6, -5, 3) | ABD | |
| A(-4, 6, 3) | В(3, -5, 1) | С(2, 6, -4) | D(2, 4, -5) | ACD | |
| A(7, 5, 8) | В(-4, -5, 3) | С(2, -3, 5) | D(5, 1, -4) | BCD | |
| A(3, -2, 6) | В(-6, -2, 3) | С(1, 1, -4) | D(4, 6, -7) | ABD | |
| A(-5, -4, -3) | В(7, 3, -1) | С(6, -2, 0) | D(3, 2, -7) | BCD | |
| A(3, -5, -2) | В(-4, 2, 3) | С(1, 5, 7) | D(-2,-4, 5) | ACD | |
| А(7, 4, 9) | В(1, -2, -3) | С(-5, -3, 0) | D(1, -3, 4) | ABD | |
| A(-4, -7, -3) | В(-4, -5, 7) | С(2, -3, 3) | D(3, 2, 1) | BCD | |
| А(-4, -5, -3) | В(3, 1, 2) | С(5, 7, -6) | D(6, -1, 5) | ACD | |
| A(5, 2, 4) | В(-3, 5, -7) | С(1, -5, 8) | D(9, -3, 5) | ABD | |
| A(-6, 4, 5) | В(5, -7, 3) | С(4, 2, -8) | D(2, 8, -3) | ACD | |
| A(5, 3, 6) | В(-3, -4, 4) | С(5, -6, 8) | D(4, 0, -3) | BCD | |
| A(5, -4, 4) | В(-4, -6, 5) | С(3, 2, -7) | D(6, 2, -9) | ABD | |
| A(-7, -6, -5) | В(5, 1, -3) | С(8, -4, 0) | D(3, 4, -7) | BCD | |
| A(7, -1, -2) | В(1, 7, 8) | С(3, 7, 9) | D(-3, -5, 2) | ACD | |
| A(5, 2, 7) | В(7, -6, -9) | С(-7, -6, 3) | D(l, -5, 2) | ABD | |
| A(-2, -5, -1) | В(-6, -7, 9) | С(4, -5, 1) | D(2, 1, 4) | BCD | |
| A(-6, -3, -5) | В(5, 1, 7) | C(3, 5, -1) | D(4, -2, 9) | ACD | |
| A(7, 4, 2) | B(-5, 3, -9) | C(1, -5, 3) | D(7, -9, 1) | AВD | |
| A(-8, 2, 7) | B(3, -5, 9) | С(2, 4, -6) | D(4, 6, -5) | AСD | |
| A(4, 3, 1) | В(2, 7, 5) | С(-4, -2, 4) | D(2, -3, -5) | ACD | |
| A(-9, -7, 4) | B(-4, 3, -1) | С(5, -4, 2) | D(3, 4, 4) | BCD | |
| A(3, 5, 3) | В(-3, 2, 8) | С(-3, -2, 6) | D(7, 8, -2) | ACD | |
| A(4, 2, 3) | B(-5, -4, 2) | С(5, 7, -4) | D(6, 4, -7) | ABD | |
| A(-4, -2, -3) | В(2, 5, 7) | С(6, 3, -1) | D(6, -4, 1) | ACD |
Решение типового варианта
1. Даны векторы а = 4i + 4k, b = -i + 3j + 2k и с = = 3i + 5j. Необходимо:
а) вычислить произведение векторов a, b и 5с;
б) найти модуль векторного произведения 3с и b;
в) вычислить скалярное произведение векторов а и 3b;
г) проверить, будут ли коллинеарны или ортогональны векторы а и b;
д) проверить, будут ли компланарны векторы a, b и с.
а) Так как 5с = 15i + 25j, то
= -100-180-200 = -480;
б) Поскольку 3с = 9i + 15j, то
= 30i + 27k +15k – 18j = 30i – 18j + 42k,
= 
;
в) Находим: 3b = -3i + 9j + 6k, 
= 4(-3) + 0 + 24 =12;
г) Так как 
= (4, 0, 4), 
= (-1, 3, 2) и 
, то векторы и не коллинеарны. Поскольку
,
то векторы и не ортогональны;
д) векторы а, b, с компланарны, если abc = 0. Вычисляем
abc = 
= -20-36-40 ≠ 0,
т. е. векторы a, b и с не компланарны.
2. Вершины пирамиды находятся в точках А(2, 3, 4), B(4, 7, 3), С(1, 2, 2) и D(-2, 0, -1). Вычислить:
а) площадь грани ABC;
б) объем пирамиды ABCD.
а) Известно, что SABC = 
|AB×AC|. Находим: 
= (2, 4, -1), 
= (-1, -1, -2),
AB×AC = 
= -9i+5j+2k.
Окончательно имеем:
SABC = 
= 
;
б) Поскольку Vпир = 
| 
|; 
= (-4,-3,-5),
= 
= 11.
Контрольные вопросы.
1) Как вычисляется скалярное произведение векторов, заданных своими координатами?
2) Как вычисляется векторное произведение векторов?
3) Что называется смешанным произведением векторов?
4) Какие векторы называются компланарными?