Статья М. А. Бантовой «Ошибки учащихся в вычислениях и их предупреждения» из журнала «Начальная школа» 1982 г., №8
Одной из главных задач обучения младших школьников математики является формирование у них вычислительных навыков. Процесс овладения вычислительными навыками довольно сложен: сначала ученики должны усвоить тот или иной вычислительный прием, а затем в результате тренировки научиться достаточно быстро выполнять вычисления, а в отношении табличных случаев – запомнить результаты наизусть. К тому же в каждом концентре изучается довольно большое количество приемов, поэтому естественно, что не все ученики сразу усваивают их, часть допускает ошибки.
В предлагаемой статье рассматриваются типичные ошибки учеников при выполнении ими арифметических действий в каждом концентре, а также методические приемы предупреждения и устранения таких ошибок.
Десяток.
1. Смешение действий сложения и вычитания (7 + 2 = 5, 6 – 4 = 10). Такие ошибки возникают по двум причинам. Первая причина: ученики еще не усвоили самих действий сложения и вычитания или же знаков этих действий. Чаще это происходит потому, что учитель стал рано требовать выполнения арифметических действий без использования счетного материала (палочек, геометрических фигур из набора и т. п.).
Чтобы предупредить появление названных ошибок, не следует запрещать ученикам пользоваться счетным материалом, если они иначе не могут найти результат сложения или вычитания. Для устранения уже появившихся ошибок надо вернуть учеников к работе со счетным материалом. При этом важно, чтобы сопровождались вычисления словесным рассуждением и соответствующей записью. Например, выполняя сложение 5 + 2, ученик берет 5 кружков и еще 2, затем придвигая к 5 кружкам 1 кружок, говорит: «К 5 прибавить 1, получится 6». Далее придвигая к 6 кружкам еще кружок, он говорит: «К 6 прибавить 1, получится 7. Записываю: 5 + 2 = 7».
Вторая причина ошибок в замене одного арифметического действия другим – это недостаточный анализ решаемого примера: при вычислениях ученики больше обращают внимание на числа, чем на знак действия. Поэтому важно с первых уроков обучения вычислениям приучать учеников к тому, чтобы они называли сначала вслух, а позднее про себя, какое арифметическое действие надо выполнить и над какими числами, и только после этого вычисляли результат. Так, пусть, решая пример 6 – 4, они говорят: «Это пример на вычитание (или: «Здесь надо вычитать»), из 6 вычесть 4, получится 2». Воспитывая привычку выполнять такой анализ, можно полностью устранить ошибки в замене одного арифметического действия другим.
2. Получение результата на единицу больше или меньше верного (7 + 2 = 8, 9 – 3 = 7). Подобные ошибки возникают при присчитывании и отсчитывании чисел 2, 3, 4 по единице с опорой на натуральный ряд. Например, прибавляя к 7 число 2, ученики должны назвать два числа, следующие в ряду за числом 7, однако бывает, что они первым называют данное число, а не следующее за ним (7, 8) и думают, что они прибавили 2 и что 7 + 2 = 8. Для предупреждения таких ошибок полезно, чтобы при присчитывании и отсчитывании по единице называлось промежуточные результаты (7 + 1 = 8, 8 + 1 = 9, значит, 7 + 2 = 9).
3. Неверный результат получается иногда вследствие использования нерациональных приемов. Например, выполняя сложение в случаях вида 3 + 6, часть учеников вместо приема перестановки слагаемых использует прием присчитывания по единице (по 2, по 3), а это трудно, и ученики часто забывают, сколько единиц они уже прибавили и сколько осталось прибавить, вследствие чего получают неправильный результат (3 + 6 = 8, 3 + 6 = 10 и т. п.).
Предупреждению таких ошибок помогает сравнение рациональных и нерациональных приемов вычислений. Так, обнаружив, что некоторые ученики допускают ошибки при решении примеров вида 3 + 6, учитель спрашивает, как они решали пример (3 + 1 = 4, 4 + 1 = 5 и т. д.), затем другие ученики объясняют, как можно решить этот пример быстрее, легче (надо переставить слагаемые 6 + 3 = 9, результат помним наизусть). Здесь же ученики указывают, в каких случаях следует переставлять слагаемые (когда к меньшему числу прибавляем большее).
4. Запись или называние вместо результата одного из компонентов (3 + 5 = 5, 6 – 4 = 6). Такие ошибки возникают преимущественно по невнимательности. Как правило, ученики сами находят ошибку и дают верный ответ.
Для предупреждения подобных ошибок важно научить детей выполнять проверку решения путем прикидки результата: при сложении результат должен быть больше каждого из слагаемых (если ни одно из них не равно нулю); при вычитании результат должен быть меньше уменьшаемого (если вычитаемое не равно нулю); если эти отношения не выполняются, значит, в вычислениях допущена ошибка. Чтобы научить детей такой проверке надо попутно с вычислениями чаще проводить наблюдения, сравнивая результат с компонентами действий сложения и вычитания. Устранению названных ошибок помогает анализ и обсуждение неверно решенных примеров. Так, учитель спрашивает, верно ли решен пример 5 + 3 = 5 и может ли эта сумма равняться 5. Ученики сравнивают сумму со слагаемыми и говорят, что сумма должна быть больше, чем 5, так как к 5 еще прибавили 3.
5. Получение неверного результата в следствии смешения цифр. Например, ученик пишет: 4 + 2 = 9, хотя устно называет правильный ответ. Для исправления подобных ошибок необходима индивидуальная работа по запоминанию цифр: пусть ученик нарисует названное учителем число каких-либо предметов и рядом запишет цифрой соответствующее число, пусть найдет в своем наборе названные цифры и т. п.
Сотня.
Сложение и вычитание.
1. Смешение приемов вычитания, основанных на свойствах вычитания суммы из числа и числа из суммы. Например:
50 – 36 = 50 – (30 + 6) = (50 – 30) + 6 = 26
56 – 30 = (50 + 6) – 30 = (50 – 30) – 6 = 14
Чтобы предупредить появление подобных ошибок, надо проводить специальную работу по сравнению смешиваемых приемов, выявляя при этом существенное различие. Ученикам предлагаются пары примеров, аналогичные приведенным, решая которые, они сравнивают каждый следующий шаг:
80 – 27 = 80 – (20 + 7)
87 – 20 = (80 + 7) – 20
В первом примере надо вычитать из 80 сумму чисел 20 и 7, а во втором – вычитать одно число 20 из суммы чисел 80 и 7.
80 – 27 = 80 – (20 + 7) = (80 – 20) – 7 = 53
87 – 20 = (80 + 7) – 20 = (80 – 20) + 7 = 67
В первом примере вычли 20 и вычли 7, а во втором вычли только 20 из 80 и к результату прибавили 7.
Целесообразно провести также сравнение приемов для случаев вида 60 – 28 и 68 – 20, 14 – 6 и 16 – 4 и т. п.
2. Выполнение сложения и вычитания над числами разных разрядов как над числами одного разряда.
Например, ученик складывает число десятков с числом единиц 54 + 2 = 74, вычитает из числа единиц число десятков 57 – 40 = 53 и т. п.
Для предупреждения названных ошибок полезно обсудить неверные решения примеров. Так, учитель предлагает найти среди данных примеров те, при решении которых допущена ошибка: 42 + 3 = 45; 25 + 4 = 65; 54 + 30 = 57. Затем выясняется, какая допущена ошибка: во втором примере 4 единицы прибавили к двум десяткам и получили шесть десятков, это неправильно, единицы надо прибавлять к единицам, получится 29, а не 65; в третьем примере 3 десятка прибавили к четырем единицам получили семь единиц, это неверно, десятки надо прибавлять к десяткам, получится 84, а не 57. После этого еще раз повторяется, что единицы прибавляют к единицам, а десятки к десяткам. Такую работу следует провести и при рассмотрении примеров на вычитание. С учениками, которые часто допускают подобные ошибки, полезно вернуться к использованию счетного материала (пучки палочек и отдельные палочки, полоски с кружками и другие).
3. Ошибки в табличных случаях сложения и вычитания, когда они входят в качестве операций в более сложные примеры на сложение и вычитание.
Например: 37 + 28 = 64, 58 – 6 = 53 и т. п.
Предупреждению этих ошибок будет служить постоянное внимание к усвоению учениками табличных случаев сложения и вычитания, особенно случаям с переходом через десяток. Для устранения ошибок необходима индивидуальная работа с учениками, допускающими их.
4. Получение неверного результата вследствие пропуска операций, входящих в прием, или выполнения лишних операций.
Например: 64 + 30 = 97, 76 – 20 = 50. Эти ошибки, как правило, возникают в результате не внимательности учеников. Для их устранения необходимо научить и постоянно побуждать учеников выполнять проверку решения примеров. В данном случае используется проверка, основанная на связи между компонентами и результатом действий сложения и вычитания. С этим способом проверки ученики знакомятся в концентре «Сотня». Они рассуждают: «Проверю решение примера 64 + 30 = 97: из суммы 97 вычту слагаемое 30 получится 67, а должно получиться первое слагаемое 64 значит, пример решен неверно. Решаю снова». Важно при этом, чтобы ученик сам нашел ошибку: «К четырем единицам я прибавил 3, но это 3 десятка, я их уже прибавил к десяткам». Вычитание проверяется путем сложения разности и вычитаемого, а также с помощью вычитания разности из уменьшаемого. Заметим, что способ проверки путем прикидки результата здесь не подходит: получили сумму 97 которая больше каждого из слагаемых 64 и 30, однако ответ неверен. Это не значит, что им не надо пользоваться, он часто помогает установить, что результат неверен. Пусть ученики сначала выполнят сравнение результата с компонентами, а затем обратятся к другому способу проверки.
5. Смешение действий сложения и вычитания (36 + 20 = 16, 46 – 7 = 53), запись или называние в результате одного из компонентов (14 + 8 = 14). Эти ошибки обусловлены недостаточным вниманием учеников.
Эффективным средством устранения таких ошибок на данном этапе обучения является умение и привычка учеников выполнять проверку решения примеров. Здесь ошибка сразу выявляется, если сравнить результат с компонентами, например, ученик выполнил сложение так: 36 + 20 = 16. Сравнив сумму (16) со слагаемыми (36 и 20), он сразу обнаруживает, что полученная сумма меньше каждого из слагаемых, значит, пример решен неверно.
Умножение и деление.
1. Ошибки при нахождении результатов умножения сложением.
1) Ошибки при вычислении суммы одинаковых слагаемых: 3 * 9 = 28. Вычисляя сумму нескольких слагаемых, ученик допустил ошибку в сложении.
2) Ошибки в установлении числа слагаемых: 8 * 5 = 32. Ученик нашел сумму не пяти, а четырех слагаемых, каждое из которых 8.
3) Ошибки, обусловленные непониманием смысла компонентов умножения 7 * 9 = 61. Ученик взял число 7 слагаемым 10 раз, получил 70, затем вычел из 70 не 7, а 9.
Предупреждению названных ошибок служит усиление внимания к усвоению конкретного смысла действия умножения: выполнение достаточного числа разнообразных упражнений на замену суммы одинаковых слагаемых произведением и произведения суммой одинаковых слагаемых. Кроме того, весьма полезна специальная работа по обсуждению неправильно решенных примеров, аналогичных приведенным (не надо ждать, когда ученики допустят такие ошибки!). Здесь уместно указать на важность запоминания наизусть результатов табличного умножения.
2. Ошибки, обусловленные трудностями запоминания результатов умножения. Трудными для запоминания являются следующие случаи:
1) произведения чисел, больших пяти: 6 * 7, 6 * 8, 6 * 9, 7 * 7 и т. д.
2) произведения с равными значениями: 2 * 9 и 3 * 6, 6 * 4 и 8 * 3 и т. п.
3) произведения, значения которых близки в натуральном ряду: 6 * 9 = 54, 7 * 8 = 56 и др.
Чтобы помочь запомнить результаты умножения в названных случаях, не смешивать их и не допускать ошибок, надо чаще включать эти случаи в устные упражнения и письменные работы, создавая при этом занимательные ситуации. Полезно названные случаи умножения по мере из изучения записывать на плакатах и вывешивать в классе для зрительного восприятия.
Вследствие нетвердого запоминания отдельными учениками результатов умножения, они допускают ошибки и при делении (54 : 9 = 7, 24 : 8 = 4 и т. п., поскольку при нахождении результата воспроизводят соответствующие случаи умножения. Случаи табличного деления следует чаще включать в устные упражнения, чем случаи табличного умножения.
3. Смешение действий умножения и деления (8 * 2 = 4, 6 : 3 = 18). Эти ошибки, как правило, - результат невнимательности учеников.
Для их предупреждения используют те же методические приемы, которые описаны в отношении сложения и вычитания.
4. Смешение случаев умножения и деления с числами 1 и 0, например: 8 * 0 = 8, 5 * 1 = 0, 0 : 9 = 9 и т. п.
Предупреждению названных ошибок помогают специальные упражнения на сравнение смешиваемых случаев.
5. Смешение приемов внетабличного умножения и деления с приемом сложения. Например: 35 * 2 = 65, 68 : 2 = 38. Здесь по аналогии с приемом сложения для случаев вида 35 + 2 ученик умножал на 2 три десятка и к результату прибавил 5 единиц; разделил на 2 шесть десятков и к результату прибавил 8 единиц.
Чтобы предупредить, а позднее устранить подобные ошибки, следует предлагать для решения с подробной записью и объяснением пары примеров вида 16 * 4 и 16 + 4, попутно выявляя существенное различие в приемах: при умножении двузначного числа на однозначное умножают на него и десятки, и единицы, после чего результаты складывают, а при сложении прибавляют однозначное число только к единицам. Такое же сравнение ведется при решении пар примеров вида 36 : 3 и 36 + 3. Для устранения подобных ошибок полезно проводить обсуждение неверных решений, аналогичных приведенным, в результате которого ученики сами находят ошибку (единицы не умножили или не разделили на число 2). Важно также, чтобы ученики выполняли проверку решения примеров на внетабличное умножение и деление: умножение проверяли делением произведения на один из компонентов, а деление – либо умножением частного на делитель, либо делением делимого на частное. Проверку следует выполнять преимущественно устно.
6. Смешение приемов внетабличного деления, например: 88 : 22 = 44, 36 : 12 = 33. Здесь ученики вместо использования приема подбора частного, как и при делении двузначного числа на однозначное, делят десятки, получая при этом десятки, затем делят единицы и результаты складывают.
Для предупреждения таких ошибок целесообразно предложить для решения одновременно примеры вида 88 : 22 и 88 : 2, после чего сравнить как сами примеры, так и приемы их вычислений. В таких случаях также полезно проводить обсуждение неверно решенных примеров, выявляя при этом ошибку.
7. Ошибки в табличных случаях умножения и деления, когда они входят в качестве операций в случаи внетабличного умножения и деления. Например:
19 * 3 = (10 + 9) * 3 = 10 * 3 + 9 * 3 = 30 + 24 = 54
72 : 4 = (40 + 32) : 4 = 40 : 4 + 32 : 4 = 10 + 6 = 16
Для устранения таких ошибок необходима индивидуальная работа с учениками, допускающими их.
8. Ошибки при делении с остатком, обусловленные неверным выделением числа, которое делят на делитель. Например: 65 : 7 = 8 (ост. 9). Здесь ученик делил на 7 не 69, а 56, поэтому получил неверное частное и остаток который больше, чем делитель.
Для предупреждения таких ошибок следует включать упражнения на выделение ошибок в решении примеров вида 43 : 7 = 5 (ост. 8). Подобные ошибки должны обсуждаться со всеми учащимися класса. Важно также научить учеников выполнять проверку решения примеров на деление с остатком. Пусть они каждый раз сравнивают остаток с делителем, помня, что остаток не может быть больше делителя. Однако этот способ не всегда позволяет установить, верно ли найдены частное и остаток, например: 42 : 5 = 7 (ост. 2). Поэтому надо использовать и другой способ: умножить частное на делитель и к полученному произведению прибавить остаток, если получится делимое, то пример решен правильно.
Тысяча. Многозначные числа.
Сложение и вычитание.
1. Ошибки, вызванные неправильной записью примеров в столбик при письменном сложении и вычитании. Например:
С целью предупреждения подобных ошибок надо обсуждать с учениками такие неверные решения, в результате чего они должны заметить, что в данном примере неверно подписаны числа, поэтому сложили десятки с единицами, сотни с десятками, а надо числа подписывать так, чтобы единицы стояли под единицами, десятки под десятками и т. д., и складывать единицы с единицами, десятки с десятками и т. д. Кроме того, нужно научить учеников проверять решение примеров. Названную ошибку легко обнаружить, выполнив проверку способом прикидки результата. Так, в отношении приведенного примера на сложение рассуждение ученика будет таким: «К 5 сотням прибавили число, которое меньше 1 сотни, а в сумме получили 9 сотен, значит в решении допущена ошибка».
2. Ошибки при выполнении письменного сложения, обусловленные забыванием единиц того или иного разряда, которые надо было запомнить, а при вычитании – единиц, которые занимали. Например:
Предупреждению таких ошибок также помогает обсуждение с учениками неверно решенных примеров. После этого важно подчеркнуть, что всегда надо проверять себя – не забыли ли прибавить число, которое надо было запомнить, и не забыли ли о том, что занимали единицы какого-то разряда. Выявлению таких ошибок самими учениками помогает выполнение проверок сложения вычитанием и вычитания сложением.
Заметим, что в некоторых методических пособиях и статьях для предупреждения названных ошибок в письменном сложении с переходом через десяток рекомендуется начинать сложение с единиц, которые запоминали. Например, при решении приведенного примера ученик тогда должен рассуждать: «К девяти прибавить 5, получится 14, четыре пишем, а 1 запоминаем: 1 да 3 – четыре, да 2, всего 6» и т. д. Этого делать не следует потому что некоторые ученики переносят этот прием на письменное умножение, что вызовет ошибку, например при умножении чисел 354 и 6 они рассуждают так: «4 умножить на 6, получится 24, четыре пишем, 2 запоминаем 2 да 5 – 7, 7 умножить на 6, получится 42» и т. д.
3.Ошибки в устных приемах сложения и вычитания чисел больших ста (540 ± 300, 1600 ± 700 и т. п.) те же, что и при сложении и вычитании чисел в пределах ста. Для их устранения используются методические приемы, о которых говорилось выше.
Умножение и деление.
1. Ошибки в письменном умножении на двузначное и трехзначное число обусловленные неправильной записью неполных произведений:
Для предупреждения таких ошибок необходимо, чтобы ученики хорошо усвоили, почему второе неполное произведение начинаем подписывать под десятками. С этой целью на этапе ознакомления с приемом надо добиться, чтобы ученики, выполняя умножение, давали развернутое объяснение. Так, при решении приведенного примера они рассуждают: «теперь буду умножать 564 на 30; для этого 564 умножу на 3 и результат на 10; при умножении на 10 приписывают справа нуль; пишу нуль под единицами; умножаю на 3; четыре умножаю на 3, получится 12, два пишу на месте десятков, а 1 запоминаю» и т. д. На этапе закрепления знания приема ученики не пишут нуль на месте единиц второго неполного произведения, но говорят: «Нуль не пишу, а умножаю 4 на 3 и подписываю под десятками».
Полезно и в таких случаях разобрать несколько неверных решений, подобных приведенным, и выяснить, какая допущена ошибка. Выявлению ошибок самими детьми помогает проверка путем прикидки результата (500 * 30 = 15000, а получили только 2820, пример решен неправильно), а позднее, когда будут изучены соответствующие случаи деления, выполняется проверка с помощью деления произведения на один из множителей.
2. Ошибки в подборе цифр частного при письменном делении.
1) Получение лишних цифр в частном. Например:
Ученик разделил на 26 не 150 десятков, а 104 десятка, вследствие чего получил остаток 46, который можно разделить на делитель, что он и сделал, получив лишнюю цифру в частном.
Для предупреждения таких ошибок необходимо, чтобы ученики начинали деление с установления числа цифр частного, это и будет прикидка результата. Так, при решении приведенного примера они рассуждают: «Первое неполное делимое 150 десятков, значит в частном будет двузначное число». После решения примера они устанавливают, что в частном получилось трехзначное число, а должно быть двузначное, значит пример решен не верно. Полезно, чтобы при этом на первом этапе работы над приемом ученики после установления числа цифр частного ставили на их месте точки, тогда нагляднее выступит несоответствие полученного и установленного числа цифр в частном. Полезно также проводить анализ неверно выполненных решений, аналогичных приведенному. При этом выясняется, что если после вычитания получается число, которое можно разделить на делитель (46), то цифра частного подобрана неправильно, надо взять больше. Ошибка может быть обнаружена самими учениками в результате проверки решения на основе связи между компонентами и результатом деления (умножат частное на делитель).
2) Пропуск цифры нуль в частном. Например:
Здесь ученик разделил на 43 число сотен и число единиц, пропустив операцию деления 34 десятков.
В таких случаях предупреждению и выявлению ошибок помогает также предварительное установление числа цифр в частном (должно получиться трехзначное число, а получилось двузначное, значит в решении допущена ошибка). Полезно своевременно провести обсуждение неверно решенных примеров, аналогичных приведенному. При этом после установления числа цифр в частном и нахождения ошибки надо обратить внимание учеников на то, что неполных делимых должно быть столько же, сколько цифр в частном (в приведенном примере – 2, а должно быть 3) и это должно выражаться в записи:
Выполнение именно такой записи предупреждает появление названной ошибки. Важно, чтобы при этом ученики вели развернутое объяснение решения. Выявить ошибку ученики и здесь могут сами, выполнив проверку решения путем умножения частного на делитель.
3. Ошибки, вызванные смешением устных приемов умножения на двузначные разрядные и неразрядные числа. Например: 34 * 20 = 408 (умножили 34 на 2, затем 34 умножили на 10 и сложили полученные произведения 58 и 340), 34 * 12 = 680 (умножили 34 на 2 и результат 68 умножили на 10).
Как и в других случаях смешения приемов, целесообразно сравнить их и установить существенное различие: при умножении на разрядные числа умножаем число на произведение, т.е. умножаем его на один из множителей, а при умножении на двузначные неразрядные числа умножаем число на сумму разрядных слагаемых: умножаем его на каждое слагаемое и результаты складываем. Умение выполнять проверку решения способом прикидки результата и, опираясь на связь между компонентами и результатом умножения, поможет ученикам выявить ошибку.
4. Ошибки, обусловленные смешением устных приемов деления на разрядные числа и умножения на двузначные неразрядные числа. Например: 420 : 70 = 102. Ученик по аналогии с умножением на двузначное неразрядное число выполнил деление так: разделили 420 на 10, затем 420 разделили на 7 и полученные результаты 42 и 60 сложили.
Для предупреждения таких ошибок надо сравнить приемы для соответствующих случаев деления и умножения (420 : 70 и 42 * 17) и установить существенное различие (при делении на разрядные двузначные числа – делим на произведение, а при умножении на двузначные неразрядные числа – умножаем на сумму). Полезно с этой же целью проанализировать решения, в которых допущены ошибки, аналогичные приведенным. Такие ошибки легко могут установить сами ученики, если выполнят проверку, умножив частное на делитель (102 * 7 = 7140, а должно получиться 420).
5. Ошибки при письменном умножении и делении в табличных случаях умножения и деления. Такие ошибки возникают либо по невнимательности учеников, либо в результате слабого знания отдельными учениками таблицы умножения.
Чтобы устранить названные ошибки, надо проводить индивидуальную работу с отдельными учениками по заучиванию таблиц умножения, а также чаще включать табличные случаи умножения и деления в устные упражнения.
6. Ошибки, обусловленные невнимательностью учеников: пропуск отдельных операций (7200 : 9 = 8, 9000 * 7 = 63 и т. п.), смешение арифметических действий (320 : 80 = 25600) и др.
Как и в ранее описанных подобных случаях, устранению названных ошибок и здесь помогает воспитанная у детей привычка анализировать данные примеры до их решения, а также проверять решение примеров.
Таким образом, предупреждению, а также устранению ошибок в вычислениях учеников помогает использование таких методических приемов:
1) для предупреждения смешения вычислительных приемов следует выполнять под руководством учителя их сравнение, выявляя при этом существенное различие в смешиваемых приемах.
2) чтобы предупредить смешение арифметических действий, надо научить учеников анализировать сами примеры.
3) предупреждению и устранению ошибок помогает обсуждение с учениками неверных решений, в результате чего выявляется причина ошибок.
4) для выявления ошибок и их устранения самими учениками надо научить детей выполнять проверку решения примеров соответствующими способами и постоянно воспитывать у них эту привычку.