Относительная частота и вероятность события
I. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ (ТВ)
Случайные события
Случайные события (сл.с.). Операции над событиями
В ТВ случайным событием A называют всё то, что может произойти или не произойти при осуществлении некоторого комплекса условий S. Событие наступает в результате различных процессов, которые называются опытами (экспериментами).
Если при реализации данного комплекса условий S событие A всегда произойдёт (никогда не произойдёт), то оно называется достоверным (невозможным).
A, B, C,… – обозначение случайных событий.
W – достоверное событие, Æ – невозможное событие.
Примеры событий:
А– появление герба при бросании монеты;
В – выпадение чётного числа очков при игре в кости;
С– замерзание воды при сильном морозе;
D –выход из строя компьютера после пяти часов работы;
E– в перечне месяцев года после января идёт апрель.
События A, B, Dслучайные, событие Cдостоверное, а событие Eневозможное.
События, не разложимые на более простые, называются элементарными событиями (исходами). Множество всех элементарных исходов wi данного опыта образуют пространство элементарных событийW. Любое событие A можно рассматривать как подмножество W. Так, при бросании игральной кости пространство элементарных событий состоит из шести элементарных исходов:
.
Событие B={выпадение четного числа очков при игре в кости} состоит из трех элементарных исходов –B={2,4,6}, событие
C={выпадение числа очков, кратного 3}={3,6}– из двух элементарных исходов.
Операции над событиями
Суммой событий 
называется событие, состоящее в наступлении или 
, или 
, или обоих событий вместе. Сумму событий обозначают 
или 
Союз «или» соответствует сложению.
Событие 
( 
) обозначает наступление хотя бы одного из событий 
.
Пример 1.1. В урне шесть шаров, отличающихся только номером 
. Наугад выбирают один шар. Обозначим событие
. Событие 
состоит в том, что будет выбран шар с номером 1 или 3, или 5, т.е. шар с нечётным номером.
Произведением событий 
называют событие B, состоящее в наступлении всех этих событий. Обозначение произведения событий:
Союз «и» соответствует умножению
Пример 1.2. Есть колода игральных карт. Наугад берут одну карту. Обозначим события A= {вынут туз}, B= {вынута карта красной масти}. Тогда событие C = A∙B означает «вынут туз красной масти».
Разностью событий A и B (обозначается 
), называется событие D, состоящее в наступлении события Aи одновременном не наступлении события В. Для предыдущего примера событие
означает, что выбран туз чёрной масти.
Если при каждой реализации комплекса условий S, когда происходит событие A, происходит и событие B, то будем говорить, что A влечёт за собой B, и обозначать этот факт 
или 
.
Если имеет место одновременно и , то события называются равносильными. В этом случае пишут 
.
События называются несовместными, если в результате одного опыта никакие два из них не могут произойти одновременно:
.
Два несовместных события, из которых одно должно обязательно произойти, называются противоположными. Обозначаются они 
. При этом 
. очевидно, что 
.
Совокупность событий 
называется полной группой несовместных событий, если
.
Примером полной группы несовместных событий является пространство элементарных событий. Другой характерный пример – пара двух противоположных событий: 
. Например, выпадение герба и решки при однократном подбрасывании монеты, работоспособность компьютера и его неисправность в данный момент времени, попадание и непопадание в мишень при одном выстреле и т.д.
1.1.В урне 4 красных и 6 белых шаров. Все они пронумерованы от 1 до 10. Урны берут наудачу 1 шар. Событие – шар с чётным номером – обозначим через A, с номером, кратным 3, – через B, шар красного цвета – через C и шар белого цвета – через D. что представляют собой следующие события:
| |
| |
| |
| |
| |
|
1.2.Докажите равенства:
1.3.При каких условиях справедливы следующие соотношения:
1.4.Установите, какие из следующих соотношений верны:
1.5.Упростите выражения:
1.6.На контрольной работе было 3 задачи. Событие – студент решил 1-ую задачу – обозначим через A, решил 2-ую задачу – через B и решил 3-ю задачу – через C. Найти выражения для следующих событий:
а) студент решил только 1-ую задачу;
б) решил только одну задачу;
в) решил только две задачи;
г) решил все задачи;
д) решил, по крайней мере, одну задачу;
е) решил не более двух задач.
Относительная частота и вероятность события
Пусть комплекс условий S воспроизводится n раз, причём событие A наступает m раз.
Число m – частотасобытия A,
число 
– относительная частота события Aпри этих испытаниях.
Оказывается, что при 
относительная частота 
колеблется около некоторой постоянной 
, называемой вероятностью события A. Тогда относительную частоту можно рассматривать как приближённое значение вероятности: 
.
События называются равновозможными, если при данном комплексе условий S каждое из них имеет одинаковую возможность наступить.
Пусть пространство элементарных исходов W состоит из nравновозможных несовместных событий ( 
), сумма m из которых даёт событие A. Тогда отношение числа m исходов, благоприятствующих появлению события A, к числу n всех равновозможных исходов опыта называется вероятностью события A:
. (1.1)
Формула (1.1) называется классическим определением вероятности. Числовая функция 
удовлетворяет следующим аксиомам:
1. Вероятность достоверного события равна единице: 
;
2. Вер-ть невозможного события равна нулю: 
;
3. Вер-ть любого события есть неотрицательное число, заключённое между 0 и 1 : 
;
4. Веро-ть суммы двух несовместных событий A и B равна сумме вероятностей этих событий: 
.
Пример 1.3. Из 5000 взятых наугад деталей 43 оказались бракованными. Найти относительную частоту бракованных деталей в данной партии.
Решение. Событие A – появление бракованной детали. Произведено 
испытаний, причём событие A наступило 
раза. Поэтому искомая относительная частота
Пример 1.4. В урне 2 белых, 3 зелёных и 5 красных шаров, не различимых на ощупь. Наугад вынимают один шар. Какова вероятность, что он красный?
Решение. Число всех исходов опыта 
, число благоприятных исходов 
. Тогда искомая вероятность
Пример 1.5.В данном пособии 100 страниц. Чему равна вероятность того, что наугад открытая страница будет иметь порядковый номер, кратный 7?
Решение. Обозначим событие A={номер страницы кратен 7}. Из условия задачи следует, что пространство элементарных событий состоит из 
исходов. Из них благоприятствует событию A 
исходов, т.к. номер, кратный 7, имеет вид 
где 
– натуральное число 
. Поэтому искомая вероятность
Элементы комбинаторики
При вычислении вероятностей важную роль играют методы комбинаторики. Комбинаторика изучает количества комбинаций, подчинённых определённым условиям, которые можно составить из элементов, безразлично какой природы, заданного конечного множества. Пусть требуется выполнить одно за другим k действий. Если первое действие можно выполнить n1 способами, второе – n2 способами, третье – n3 способами и так до k-го действия, которое можно выполнить nk способами, то все k действий можно выполнить 
способами.
Рассмотрим опыт, состоящий в выборе наудачу одного за другим mшаров из nпронумерованных шаров, содержащихся в урне. Этот опыт будем называть выборкой с возвращением, если после каждого извлечения шар возвращается обратно и, следовательно, может участвовать в дальнейшем отборе. В противном случае мы имеем выборку без возвращения. Номера выбранных шаров образуют множество, состоящее из m натуральных чисел. Если важен порядок следования этих чисел в процессе отбора, то полученное множество называется упорядоченным. В противном случае – неупорядоченным.
1) Если из n пронумерованных шаров выбирают m с возвращением, то различных упорядоченных выборок будет nm.
Пример. Сколько различных пар чисел может быть, если игральную кость подбросили 2 раза (3 раза)?
2) Если осуществляется выбор без возвращения, то при этом упорядоченное множество называется размещением из n элементов по m, их число обозначают 
:
.
Пример. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, если цифры в числе не повторяются? Повторяются?
При 
размещения называются перестановками. Их число обозначают 
:
Если при выборе без возвращения рассматривают неупорядоченные множества, то последние называются сочетаниями. Их число обозначают 
Следует отметить свойства сочетаний: проверить свойства для n=4, m=3
1. 
;
2. 
;
3. 
;
4. 
;
5. 
.
Пример 1.6. Наудачу взятый телефонный номер состоит из 6 цифр. Как велика вероятность, что в нём:
а) все цифры различные;
б) все цифры нечётные?
Решение. а) На первом месте в шестизначном телефонном номере может стоять любая из цифр: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а на всех остальных местах может стоять любая из этих же цифр или ноль. Поэтому всего шестизначных номеров 
. Число номеров, у которых все цифры различные, найдем с помощью размещений. При этом учтём, что первая цифра в шестизначном телефонном номере не может быть нулём:
б) Из 5 нечётных цифр (1, 3, 5, 7, 9) можно образовать 
различных шестизначных номеров. 
это число благоприятствующих исходов. Тогда искомая вероятность
Пример 1.7. В купе железнодорожного вагона один напротив другого стоят два дивана, на каждом из которых по пять мест. Из десяти пассажиров четверо желают сидеть лицом к электровозу, а трое – спиной к нему. Чему равна вероятность, что данные два пассажира, которым безразлично, где сидеть, окажутся рядом?
Решение. Сначала найдем число всех возможных размещений пассажиров в купе. Пусть A, B, C – пассажиры, которым безразлично, где сидеть. Если A сядет лицом к электровозу, то на диване вместе с ним еще четверо пассажиров могут сесть 5! Способами (перестановки из пяти элементов). Остальные пассажиры на противоположном диване также могут сесть 5! Способами. Таким образом, если A выбрал первый диван, то все пассажиры могут сесть (5!)2 способами. Такое же число способов мы получим, если на первом диване будет не A, а B или C. Тогда число всех равновозможных исходов 3(5!)2.
Благоприятствовать наступлению интересующего нас события будут исходы, когда данные два пассажира, например A и B, будут сидеть рядом. Это возможно, только если A и B сидят спиной к электровозу. Таких случаев будет 
. поэтому искомая вероятность
1.7.Французский естествоиспытатель XVIII в. Ж. Л. Бюффон при экспериментальной проверке закона больших чисел подбросил монету 4040 раз, в результате чего герб выпал 2048 раз. Найти относительную частоту выпадения герба в данном эксперименте.
1.8.Относительная частота родившихся мальчиков среди 2000 новорожденных равна 0,516. Сколько всего мальчиков?
1.9.Считая выпадение любой из граней игральной кости одинаково вероятным, найти вероятность выпадения грани: а) с чётным числом очков; б) с числом очков, кратным трём.
1.10.Слово АНАНАС разрезали на карточки, перевернули буквами вниз и перемешали. Карточки выбирают наугад по одной и выкладывают в ряд. Какова вероятность, что при этом получится слово АНАНАС?
1.11.Какова вероятность, что в марте наугад названного года окажется 4 воскресенья?
1.12.Из партии, в которой 32 детали без дефекта и 6 с дефектом, наудачу взяли 3 детали. Чему равны вероятности следующих событий: а) все 3 детали без дефекта; б) по крайней мере одна деталь без дефекта?
1.13.Брошены две игральные кости. Чему равна вероятность того, что: а) произведение выпавших очков окажется равным 12; б) сумма выпавших очков не меньше 7; в) произведение выпавших очков равно 12, а сумма равна 7?
Ответы 1.7.0,5069. 1.8. 1.9. 1.10. 1.11. 0,5714. Указание среди первых 28 дней января всегда 4 воскресенья. следовательно в январе не будет больше воскресений, если их не будет 29, 30 и 31 числа. Последнее возможно, когда на число 29 выпадает понедельник, вторник, среда или четверг, p=4/7. 1.12. 1.13. 1/9. Остальное прорешать и поместить ответы в конце пособия.