Разложение полной вариации (decomposition of the total variation)

В однофакторном дисперсионном анализе разделение вариации, зависимой переменной, на вариацию, обусловленную различием средних внутри групп плюс вариацию, обуслов­ленную внутригрупповой изменчивостью.

Эту вариацию вычисляют как сумму квадратов с поправкой на среднее (на число степеней свободы) (SS). Дисперсионный анализ называют так потому, что он изучает изменчивость или дисперсию выборки (применительно к зависимым переменным) и, исходя из этой изменчиво­сти, определяет, действительно ли выборочные средние равны между собой.

Полную вариацию Y, обозначаемую SS, можно разложить на два компонента:

SSy= SS_между+ SS_внутри

где нижние индексы между (between) и внутри (within) относятся к группам переменной X. SS_между — это вариация переменной Y, связанная с различием средних между группами пере­менной X. Она представляет вариацию между категориями переменной X (межгрупповая из­менчивость). Другими словами, SS_между — это доля в сумме квадратов переменной Y, обуслов­ленная действием независимой переменной или фактором X. Поэтому SS_междутакже обозначают как SS_X. SS_внутри — это вариация переменной Y, связанная с вариацией внутри каждой группы переменной X, ее вычисляют, не учитывая фактор X. Поэтому SS_внутри также называют дисперсией ошибки SS_ошибки.

SSy= SS_X+ SS_ошибки

Где

ф

Y₁ — отдельное наблюдение

Yj — среднее для группы j

Y — среднее для всей выборки или общая средняя

Y_ij — i-наблюдение в j-группе

Смысл разложения полной вариации в переменной Y, SS_y на компоненты SS_междуи SS_внутритом, чтобы наглядно представить и затем изучить различия в групповых средних. Вспомним из главы 15, если вариация переменной в совокупности известна, то можно определить, насколько сильно изменение выборочного среднего обусловлено только случайной вариацией. В дисперсионном анализе рассматривают несколько различных групп (например, сильное, среднее, слабое использование, отсутствие использования товара). Если нулевая гипотеза верна, и все группы имеют одно и то же среднее значение совокупности, то можно оценить, насколько сильно отличаются выборочные средние вследствие только выборочной (случайной) вариации. Если наблюдаемое различие в выборочных средних больше ожидаемого, то логично заключить, что эта дополнительная вариация связана с различиями в групповых средних в совокупности

В дисперсионном анализе мы определяем два показателя вариации: внутри групп (SS_внутри)(внутригрупповая изменчивость) и между группами (SS_между) (межгрупповая изменчивость). Внутригрупповая вариация показывает, насколько сильно колеблятся значения переменной Y внутри группы. Поэтому ее используют для оценки дисперсии внутри группы. Предполагается, что все группы в рассматриваемой совокупности имеют одну и ту же вариацию. Однако из-за того, что неизвестно, имеют ли все группы одно и то же значение средней, мы не может вычислить дисперсию всех объединенных вместе наблюдений. Дисперсия для каждой группы рассчитывается отдельно, и затем эти дисперсии следует объединить в "среднюю" или "общую". Аналогично, можно получить другую оценку дисперсии значений Y, изучив вариации между средними. (Этот процесс обратный процессу определения вариации в средних.) если среднее совокупности одно и то же во всех группах, то для оценки дисперсии Yиспользуем вариацию в выборочных средних и размеры выборочных групп. Приемлемость этой оценки дисперсии Y зависит от истинности нулевой гипотезы. Если нулевая гипотеза верна и средние совокупности равны, то оценка дисперсии на основе межгрупповой изменчивости корректна. С другой стороны, если группы имеют различные средние в совокупности, то оценка дисперсии на основе межгрупповой изменчивости слишком большая. Таким образом, сравнив оценки дисперсии на основе межгрупповой и внутригрупповой изменчивости (вариации), мы можем проверить нулевую гипотезу [4]. Разложение полной вариации также позволяет измерить влияние переменной Х на Y.

Измерение эффекта

Сила влияния переменной Х на Y измеряется с помощью SS_X. Поскольку SS_X связана с вариацией средних значений групп X, то относительное значение SS_X растет с увеличением различий между средними значениями Yв группах X. Относительное значение SS_X также увеличивается при уменьшении вариаций Yвнутри групп X. Эффект влияния переменной X на Y вычисляют по формуле:

Значение корреляционного отношения η² лежит в пределах от 0 до 1. Оно равно нулю, когда все групповые средние равны, т.е. переменная X не влияет на Y. Значение η ² равно 1, когда внутри каждой из групп переменной Х изменчивость отсутствует, но имеется некоторая измен­чивость между группами. Таким образом, η² представляет собой меру вариации Y, которая объ­ясняется влиянием независимой переменной X. Мы не только можем измерить влияние X на Y, но и проверить его значимость.

Проверка значимости

В однофакторном дисперсионном анализе проверяют нулевую гипотезу, утверждающую, что групповые средние в рассматриваемой совокупности равны [5]. Другими словами,

Н₀:µ₁ = µ₂ = µ₃ = …= µ_с

В соответствии с нулевой гипотезой значения SS_X и SS_ошибки зависят от одного источника ва­риации. В таком случае оценка дисперсии совокупности Y может определяться межгрупповой или внутригрупповой вариацией. Иначе говоря, оценка дисперсии совокупности Y

v —

(с-1)

= средний квадрат, обусловленный действием X

= MS_X

или

с 2

= средний квадрат, обусловленный действием всех факторов, кроме X

= MS_ошибки

Нулевую гипотезу можно проверить с помощью F-статистики, рассчитываемой как отно­шение между этими двумя оценками дисперсий:

SS_x/(c-l) ₌ MS_X SS_oultl6KU/(N-c) MS_oullt6Klt

Эта статистика подчиняется F -распределению с числом степеней свободы (df), равным (с - 1) и (N — с). Таблица распределения F -статистики приведена в табл. 5 Статистического приложе­ния. Как упоминалось в главе 15, F-распределение представляет собой распределение вероят­ностей отношений выборочных дисперсий. Значение F зависит от числа степеней свободы в числителе и знаменателе [6].

Интерпретация результатов

Если нулевую гипотезу о равенстве групповых средних не отклоняют, то независимая пере­менная не оказывает статистически значимого влияния на зависимую переменную. С другой стороны, если нулевую гипотезу отклонить, то эффект независимой переменной на зависимую трактуется как статистически значимый. Другими словами, среднее значение зависимой пере­менной различно для различных групп независимой переменной. Сравнение значений груп­повых средних показывает характер влияния независимой переменной. Другие важные вопро­сы интерпретации результатов, такие как изучение различий между конкретными средними, обсуждаются ниже. Проиллюстрируем применение однофакторного дисперсионного анализа и других связанных с ним методов.

Иллюстрация. Рассмотрим изложенный материал на основе данных табл. 16.2, полученных в ходе эксперимента в сети крупных универмагов. Цель эксперемента — изучить влияние уровня рекламы товаров непосредственно в самом магазине и купонной распродажи на объем продаж. Маркетологи использовали три уровня рекламы товаров в магазине: высокий, средний и низкий. У купонной распродажи было два уровня. Купон на 20-долларовую скидку либо давали потенциальным покупателям (уровень в этом случае обозначали номером 1), либо не давали (этот уровень обозначали номером 2 в табл. 16.2). Результаты экспериментов с рекламой и купоном объединили в таблицу размером 3 х 2 с шестью ячейками. Тридцать магазинов были выбраны случайным образом, и для каждой комбинации условий эксперимента случайным образом взяли по пять магазинов, как показано в табл. 16.2. Эксперимент продолжался два месяца. Определили объем продаж в каждом магазине, нормализовали его, приняв во внимание посторонние факторы (размер магазина, товарооборот и т.д.) и пересчитали по десятибалльной шкале. В дополнение была получена качественная оценка относительного числа постоянных покупателей для каждого магазина, также с использованием десятибалльной шкалы. Полученные данные приведены в табл. 16.2

• ⇐ Назад
• 170
• 171
• 172
• 173
• 174
• 175
• 176177178
• 179
• 180
• 181
• 182
• 183
• 184
• 185
• Далее ⇒