Понятие многогранника и его элементы

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА № 20»

РЕФЕРАТ ПО ГЕОМЕТРИИ

В мире

Правильных

Многогранников

Ф.И.О. учащегося Белянкина Мария

Класс 11А

РуководительКозак Татьяна Ивановна,

учитель математики I категории

Пгт. Прогресс

Год

Содержание

Введение

С первых уроков геометрии в старших классах начинается взаимосвязанное изучение начал стереометрии и фигур в пространстве, в частности многогранников. Это объясняется тем, что многогранники являются хорошей иллюстрацией для вводимых понятий и доказательств, объяснения необходимости изучаемых свойств.

Человек проявляет интерес к многогранникам на протяжении всей своей сознательной деятельности – от двухлетнего ребёнка, играющего деревянными кубиками, до зрелого математика. Особый интерес к правильным многоугольникам и правильным многогранникам связан с красотой и совершенством формы. Они довольно часто встречаются в природе. Достаточно вспомнить форму снежинок, граней кристаллов, ячеек в пчелиных сотах. Из правильных многоугольников можно складывать не только плоские фигуры, но и пространственные. Многие из нас склеивали новогодние игрушки из открыток или яркой бумаги в форме правильных многогранников.

Многие строения в окружающем нас мире, в частности пирамида Хеопса, имеют форму многогранников. «Только неотступно следуя законам геометрии, архитекторы древности могли создать свои шедевры. Не слу­чайно говорят, что пирамида Хеопса – немой трактат по геометрии, а грече­ская архитектура – внешнее выраже­ние геометрии Евклида. Прошли века, но роль геометрии не изменилась. Она по-прежнему остается грамматикой ар­хитектора» – это высказывание принадлежит великому французскому архитектору нашего столетия Ле Корбюзье (1887–1965).

И самая популярная форма современного здания, радиоприемника, те­левизора, шкафа – параллелепипед; спичечный коробок, книга, комната, молочные пакеты также имеют форму тетраэдра или параллелепипеда. Ни одни геометрические тела не обладают таким совершенством и красотой, как правильные многогранники. «Правильных многогранников вызывающе мало, – написал когда-то Л. Кэрролл – но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук».

Понятие многогранника и его элементы

Виды многогранников

Многогранники выделяются среди пространственных фигур как фигуры, поверхности которых состоят из конечного числа многоугольников, называемых гранями многогранника. Стороны и вершины этих многоугольников называются соответственно рёбрами и вершинами многогранника. Примерами многогранников являются:

à параллелепипед – многогранник, поверхность которо­го состоит из шести параллелограммов;

à прямоугольный параллелепипед – параллелепипед, у которого грани –прямоугольники;

à куб – многогранник, поверхность которого состоит из шести квадратов;

à призма – многогранник, поверхность которого состоит из двух рав­ных многоугольников, называемых основаниями призмы, и параллелограммов, называемых боковыми гранями;

à прямая призма – призма, боковыми гранями которой являются прямоугольники;

à правильная призма – прямая призма, основаниями которой являются правильные многоугольники;

à пирамида – многогранник, поверхность которого со­стоит из многоугольника, называемого основанием пира­миды, и треугольников, имеющих общую вершину, назы­ваемых боковыми гранями пирамиды. Общая вершина треугольников называется вершиной пирамиды;

à правильная пирамида – пирамида, в основании кото­рой правильный многоугольник, и все боковые ребра рав­ны;

à усечённая пирамида – многогранник, гранями которого являются n-угольники (нижнее и верхнее основания), расположенные в параллельных плоскостях, и n-четырёхугольников (боковые грани).

Правильные многогранники

Среди разнообразных форм многогранников выде­ляют правильные многогранники – те, ко­торые построены из одинаковых многоуголь­ников, причем в каждой вершине сходится одинаковое количество таких многоугольни­ков.

Рассмотрим определения правильных многогранников, которые даются в разных учебниках, рекомендованных для общеобразовательных школ.

¨ В учебнике «Геометрия, 10-11 классы» (Л.С. Атанасян и др.) даётся такое определение правильного многогранника: «Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани – правильные многоугольники и в каждой его вершине сходится одно и то же число ребер». Такое же определение даётся и в учебниках А. В. Погорелова «Геометрия. Учебник для 7-11 классов средней школы» и И. М. Смирновой, В.А. Смирнова. «Геометрия. Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений».

¨ Многогранник называется правильным, если все его грани – равные правильные многоугольники, а все его вершины одинаково удалены от некоторой точки – центра правильного многоугольника (Г. П. Бевз, В. Г. Бевз, Н. Г. Владимирова. Геометрия 7-11 классы).

¨ Если все грани выпуклого многогранника – конгруэнтные правильные многоугольники и число рёбер, выходящих из каждой вершины, одинаково, то многогранник называется правильным (В. М. Клопский, З. А. Скопец, М. И. Ягодовский. Геометрия. Учебное пособие для 9-10 классов средней школы).

Но какое бы определение мы не взяли, главная суть заключается в следующем – все его грани равные правильные многоугольники. Во всех этих определениях можно увидеть свойства правильных многогранников: все плоские углы равны, все двугранные углы, содержащие две грани с общим ребром, равны, все рёбра равны, все многогранные углы равны, в каждой вершине сходится одно и то же число рёбер, все его вершины одинаково удалены от центра правильного многогранника. Примером правильного многогранника является куб. Все его грани – правильные квадраты, и к каждой вершине сходится три ребра.

Ещё в Древней Греции были описаны все правильные многогранники. Особенно важное место многогранникам уделяли пифагорейцы – ученики школы Пифагора (VI – V века до н. э.), где устройство мира тесно связывалось с геометрией, геометрическим телами. Именно им древнегреческий математик Прокл (V в.) приписывал построение пяти правильных многогранников, которые использовались для философ­ских космологических теорий. Согласно этим теориям элементы первоосновы бытия: огонь, земля, воздух, вода – имеют форму правильных многогранни­ков, соответственно правильного тет­раэдра, куба, октаэдра и икосаэдра. Но позже было установлено, что Пифагор мог знать, самое большее, гексаэдр (куб), тетраэдр и додекаэдр. В то время как октаэдр и икосаэдр были, вероятно, открыты лишь Теэтетом Афинским в IV в. до н. э.

Итак, существует всего пять правильных многогранников.

Простейшим среди многогранников является тетраэдр (четырёхгранник – от греческого «тетра», т.е. четыре). Его четыре гра­ни – равносторонние треугольники. Четыре – это наименьшее число гра­ней, отделяющих часть трёхмерного пространства. Тем не менее, тетраэдр обладает многими свойствами, харак­терными для однородных многогран­ников. Все его грани суть правильные многоугольники, причём каждая отде­ляется ребром в точности от одной грани. Все многогранные углы тетра­эдра также равны между собой.

Куб, или гексаэдр(шестигранник – от греческого «гекса», т.е. шесть) – са­мый общеизвестный и широко исполь­зуемый многогранник. Все шесть его граней – квадраты, сходящиеся по два вдоль каждого ребра и по три в каж­дой вершине.

Октаэдр (восьмигранник – от греческого «окта», т.е. восемь), составлен­ный из восьми правильных треугольников, его противоположные грани лежат в параллельных плоскостях. Иоганн Кеплер (1571-1630) в своём этюде «О снежинке» высказал такое замечание: «Среди правильных тел самое первое, начало и родитель остальных – куб, а его, если позволительно так сказать, супруга – октаэдр, ибо у октаэдра столько углов, сколько у куба граней».

Икосаэдр (двадцатигранник – от греческого «икос», т.е. двадцать), составленный из двадцати правильных треугольников. Икосаэдр – одно из пяти тел, по простоте следующее за тетраэдром и октаэдром. Их объединя­ет то обстоятельство, что гранями каждого являются равносторонние тре­угольники.

И за­гадочный додекаэдр (двенадцатигранник – от греческого «додека», т.е. двенадцать), со­ставленный из двенадцати правильных пя­тиугольников. В известном смысле додекаэдрпред­ставляет наибольшую привлекатель­ность среди тел, соперни­чая с икосаэдром, который почти ему не уступает (а быть может, в чём-то и превосходит).

12
• 3
• 4
• 5
• 6
• 7
• 8
• Далее ⇒