ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ
Пусть в результате испытания может произойти одно из n событий Н1, Н2, …, Нn, которые удовлетворяют следующим условиям:
- они являются попарно несовместными НiHj=Æ;
- хотя бы одно из них в результате испытаний обязательно произойдёт, т.е. их объединение есть достоверное событие
H1È H2È ….È Hn=Ω
События Н1,…Нn, удовлетворяющие условиям 1 и 2, называются гипотезами.
На первой лекции было дано определение полной группы попарно несовместных событий и обещано, что мы с ними будем детально разбираться. Гипотезы образуют именно такую группу.
Пусть также имеется некоторое событие А и известны вероятности гипотез Р(Н1),…, Р(Hn), которые предполагаются ненулевыми, и условные вероятности события А при выполнении этих гипотез P(A|H1), P(A|H2), …, P(A|Hn). Как найти вероятность события А?
V Дано два набора деталей. Вероятность того, что деталь стандартная в 1-ом ящике - Р1 , во втором - Р2 .Наугад был выбран ящик и из него была взята деталь. Найти вероятность того, что деталь стандартная.
Ï Выдвинем гипотезы:
Н1 – взяли деталь из первого ящика, Н2 – взяли из второго ящика. Н1 и Н2 образуют полную группу событий. Поскольку ящик выбран наугад, то Р(Н1)=Р(H2)=0.5. Вероятность того, что деталь стандартная, при условии, что ее взяли из первого ящика P(A|H1)= Р1. Вероятность того, что деталь стандартная, при условии, что ее взяли из второго ящика P(A|H2)= Р2. Требуется найти Р(А)
Теорема. Пусть для некоторого события А и гипотез Н1,…, Нn известны вероятности гипотез P(H1),…., P(Hn) и условные вероятности P(A|H1), P(A|H2), …, P(A|Hn). Тогда безусловная вероятность Р(А) определяется по формуле:
Р(А) = P(H1) Р(A|H1)+…+ P(Hn) P(A|Hn),
Которая называется формулой полной вероятности.
Доказательство.
 |
Представим событие
А=А*Ω=А*(Н1+Н2+…+Hn) = AH1 + AH2 + … AHn – несовместны.
Р(А)= Р(AH1)+ Р(AH2)+…+ Р(AHn)=*
По формуле умножения вероятности
Р(AH1) = P(H1) Р(A|H1)
Р(AH2) = P(H2) Р(A|H2)
………………………..
Р(AHn) = P(Hn) Р(A|Hn)
*= P(H1) Р(A|H1) + … + P(Hn) Р(A|Hn). <
V Путник должен попасть из В в А в соответствие со схемой дорог. Выбор пути равновозможен. Найти вероятность Р(А) - достижения пункта А.
(Сеть дорог – сеть каналов передачи информации.
Р(А) – вероятность передачи информации А
по такой сети). В
Гипотезы
H1 , H2 , H3 – выбор пути. P(H1)= P(H2)= P(H3)=1/3
Р(A|H1)= ½, Р(A|H2)= ¼, Р(A|H3)= 0
Р(А)= P(H1) Р(A|H1)+ P(H2) Р(A|H2)+ P(H3)Р(A|H3)=1/3*½+1/3*¼=¼. N
ФОРМУЛЫ БАЙЕСА
Пусть по прежнему событие А может произойти с одним из событий Н1,…, Нn, являющимися гипотезами. Предположим, что известны вероятности гипотез Р(Нi) и в результате испытания событие А произошло, т.е. получена дополнительная информация. Поставим своей задачей определить, как изменилиь вероятности гипотез (ведь мы теперь обладаем дополнительной информацией), т.е. чему будут равны P(H1| A) – вероятность i-й гипотезы, при условии что событие А произошло.
Теорема. Пусть для некоторого события А, Р(А) > 0 и гипотез Н1,…, Нn известны вероятности гипотез P(H1),…., P(Hn) и условные вероятности Р(A|H1), P(A|H2), …, P(A|Hn). Тогда условная вероятность P(Hi| A) гипотезы Hi при условии события А определяется формулой Байеса
.
Доказательство.
По формуле умножения вероятностей Р(AHi)= Р(А) P(Hi|A). Отсюда P(Hi|A) = Р(AHi)/ Р(А) (*), где Р(А) – формула полной вероятности события А.
С другой стороны, по этой же формуле Р(AHi)= P(Hi) Р(A|Hi). Подставляя это выражение в (*)получим
.<
Вероятности P(Hi) называются априорными (J до того), а P(Hi|A) – апостериорными (J после того).
Формула Байеса находит широкое применение в математической статистике, теории принятия решений. Смысл байесовского подхода заключается в том, что мы выдвигаем некоторые априорные вероятности (достаточно произвольные), а потом, учитывая результаты повторяющегося эксперимента, мы определяем апостериорные вероятности гипотез.
Байес (Бейес) Томас
1702-1761