Классическое (математическое) определение вероятности

Введение. Элементы комбинаторики.

Теория вероятностей и математическая статистика – это две тесно связанные между собой науки. Именно теория вероятностей создает математический аппарат для изучения различных случайных явлений, математическая статистика, пользуясь этим аппаратом, изучает конкретные массовые случайные явления.

Итак, начинать следует с теории вероятностей, но предварительно остановимся на некоторых сведениях из комбинаторики. (Комбинаторика – соединять в переводе с латинского). Что касается соединений элементов, то они подразделяются на размещения, перестановки и сочетания. Напомним их.

1) Размещения - такие соединения элементов, которые отличаются между собой как порядком элементов, так и самими элементами.

= (*)

2) Перестановки -такие соединения элементов, которые отличаются между собой только порядком элементов

(**)

3) Сочетания -такие соединения элементов, которые отличаются между собой только самими элементами.

P (A) = (***).


Глава 1.Случайные события.

Основные понятия теории вероятностей.

Испытания и события.

Определение. Теория вероятностей – это наука, изучающая закономерности случайных явлений.

Ее основными простейшими понятиями являются понятия испытания и события, то есть исходы испытания.

Например, стрельба по цели – испытание, а попадание в цель или промах – событие.

События подразделяются на достоверные, невозможные и случайные.

Определение. Достоверное событие – это такое, которое обязательно произойдет; невозможное – которое обязательно не произойдет. А случайное – это такое, которое может произойти, а может и не произойти.

Например, извлечь годную деталь из ящика, в котором находятся только негодные детали – событие невозможное, извлечь же годную деталь из ящика, в котором находятся только годные детали – событие достоверное. А извлечь годную деталь из ящика, в котором находятся годные и негодные детали – событие случайное.

Случайные события классифицируются так:

 

 

равновозможные

↑

единственно возможные

↑ ↓

несовместныенеравновозможные

↑ ↓

неединственно возможные

Случайные события

независимые

↓ ↑

совместные

↓

зависимые

Их названия говорят сами за себя (совместные, несовместные и т.д.).

Например: 1) Выигрыш по двум билетам одной и той же лотереи – события совместные и зависимые, ведь если первый билет уже выиграл, то для второго стало одним шансом меньше.

2) Выигрыш по 2-м билетам разных лотерей – события совместные и независимые.

3) Выпадение решки или орла, при подбрасывании монеты – события несовместимые, единственно возможные (т.е. одно из них обязательно произойдет) и равновозможные (так как выпадают на удачу).

4) Попадание и промах, при стрельбе по цели события несовместимые единственно возможные, но неравновозможные, так как у них разные шансы на появление (ведь все зависит от умения стрелять).

5) При подбрасывании игральной кости выпадение, например одного очка, или двух очков – событие несовместное, но не единственно возможное, так как возможны выпадения и других очков: трех, или четырех, или пяти, или шести. Выпадение же очков: или одного, или двух, или …, или шести – события несовместные единственно возможные.

Важным понятием теории вероятностей является понятие, так называемой, полной системы (группы) событий.

Определение. Полная система событий (исходов) есть полный набор (без повторений) всех единственно возможных событий (т. е таких из которых какое-нибудь одно обязательно произойдет) в данном испытании

Например:1) При стрельбе по цели полная система событий состоит из одного попадания и одного промаха, ведь одно из них обязательно произойдет.

2) При подбрасывании монеты полная система событий состоит из выпадения одного орла и выпадения одной решки.

3) При подбрасывании игральной кости полная система событий состоит из выпадения по одному разу набора очков: 1,2,…,6.

Случайные события обозначаются большими буквами латинского алфавита A,B,C,… или При этом, если событий всего два, то значит, они являются противоположными и их условились обозначать символами и (в смысле не А). Например. Если при подбрасывании монеты, А - есть событие выпадения орла, то - событие не выпадения орла, т.е. событие выпадения решки.

 

Классическое (математическое) определение вероятности.

Каждое случайное событие имеет некоторый шанс на свое появление. Так при подбрасывании монеты, герб имеет больше шанса на свое появление чем, скажем, цифра 2 при подбрасывании игральной кости (ведь у монеты только две стороны, а у игральной кости – 6).

Чтобы сравнивать между собой случайные события по шансам их появления, нужно с каждым событием связать определенное число, которое было бы тем больше, чем больше у него шансов на появление, т.е. чем больше исходов испытаний ему благоприпятствует.

Такое число назвали вероятностью события и обозначили буквой Р, или и т.д.

Определение. Вероятность некоторого события А есть число равное отношению числа (m) исходов благоприпятствующих А к общему числу (n) исходов составляющих полную систему и являющихся равновозможными. Т.е.

P (A) =

Эту формулу назвали классической. В ней n-общее число исходов (событий) включающее и m.

Важно заметить, что классическая формула внешне похожа на известную формулу относительной частоты появления события А. Но это сходство лишь внешнее, так как здесь от n событий не требуется, что бы они были равновозможными, ибо теперь n есть лишь число всех проведенных опытов включающих в себя и m в которых появилось событие А.

Из классической формулы следует, что когда: 1) m=0, т.е. событие А невозможно, то для него будет , 2)m=n, т.е.событие А достоверно, то для него будет - достоверная вероятность. Значит для случайного события А будет 0<P(A)<1. Следовательно, введенное раннее определение вероятности можно сформулировать еще так:

Определение. Вероятность есть мера случайности.