Границя функції. Означення границі функції за Гейне й за Коші
Нехай функція 
визначена на множині 
і точка 
є граничною точкою множини . Виберемо із послідовність точок, відмінних від 
: 
збіжну до . Значення функції в точках цієї послідовності також утворюють числову послідовність 
.
Означення границі функції за Гейне. Число 
називається границею функції у точці ( або при 
), якщо для будь-якої збіжної до послідовності значень аргументу , відмінних від , відповідна послідовність значень функції збігається до числа .
Символічно це записують так: 
.
Означення границі функції за Коші. Нехай функція визначена в деякому околі точки , крім, можливо, самої точки . Число називається границею функції у точці , якщо для довільного числа 
існує число 
таке, що нерівність 
виконується для всіх , що задовольняють умову 
.
Означення границі функції за Гейне і за Коші еквівалентні.
Дійсно, нехай 
згідно з Гейне. Покажемо, що в цьому випадку для довільного числа існує число таке, що нерівність виконується для всіх , що задовольняють умову , тобто що згідно з означенням Коші.
Припустимо протилежне. Нехай існує 
таке, що для довільного 
існує точка 
, для якої з умови 
випливає нерівність 
. Розглянемо послідовність 
, де 
. Виберемо точки 
такі, що
(1)
і
. (2)
Оскільки 
, то 
, але за нерівністю (2) 
, що суперечить умові, тобто що 
згідно з Гейне.
Нехай тепер згідно з Коші. Покажемо, що і згідно з Гейне.
Отже, нехай для будь-якого існує число таке, що із нерівності випливає нерівність . Виберемо довільну послідовність точок збіжну до 
. Тоді для значення , відповідного 
, знайдеться такий номер 
, що для всіх 
виконуватимуться нерівності 
і разом із тим . Оскільки вибір був довільним, то це означає, що для довільної послідовності 
із умови 
випливає умова 
, тобто що за Гейне.
Еквівалентність означень границі функції за Гейне і за Коші дає можливість використовувати будь-яке із них залежно від того, яке є більш зручним для розв'язування тієї чи іншої задачі.
Односторонні границі
Число називається границею функції у точці справа (зліва), якщо для будь-якої збіжної до послідовності , елементи якої більші (менші) , відповідна послідовність 
збігається до числа .
Символічно це записують так:
.
Можна дати рівносильне означення односторонніх границь функції "в термінах 
".
Число називається границею функції у точці справа (зліва), якщо для довільного числа існує таке , що для всіх , які задовольняють умову 
, виконується нерівність .
Теорема.Функція має в точці границю тоді й тільки тоді, коли в цій точці існує як права, так і ліва границя та ці границі рівні між собою. У цьому випадку границя функції дорівнює одностороннім границям.
Доведення. Нехай у точці існують односторонні границі функції і 
. Тоді, згідно з означенням односторонніх границь, для будь-якого існують числа 
, такі, що для всіх , які задовольняють умову 
, і для всіх , котрі задовольняють умову 
, виконується нерівність . Виберемо 
. Тоді для всіх , що задовольняють умову , виконуватиметься нерівність . Тобто . З іншого боку, якщо , то в точці існують односторонні границі й 
.