Похідні й диференціали вищих порядків

Похідна функції сама є деякою функцією аргументу . Отже, можна ставити питання про існування похідної від функції . Цю похідну називають похідною другого порядку, або другою похідною. ЇЇ позначають або . Отже, .

Приклад. Знайти похідну другого порядку функції .

Розв'язування.

,

.

Похідна першого порядку від похідної другого порядку називається третьою похідною, або похідною третього порядку і т. д.

Якщо визначена похідна - го порядку функції , то похідною - го порядку називається перша похідна похідної - го порядку, тобто

.

Похідні, починаючи з похідної другого порядку, називаються похідними вищих порядків.

Формули п- них похідних деяких функцій.Нехай маємо функцію , тоді

Отже, похідну - го порядку функції можна знайти за формулою

Аналогічно можна одержати формулу для обчислення - ої похідної функції

Обчислимо - ну похідну функції .

Нехай маємо показникову функцію . Послідовно диференціюючи цю функцію, одержуємо

Зокрема,

Формула Лейбніца для п-ної похідної добутку двох функцій.

Нехай , де - функції, які мають похідні будь-якого порядку. Тоді

Праві частини одержаних рівностей подібні на розвинення бінома Ньютона, але замість показників степенів стоять числа, які визначають порядок похідних. При цьому самі функції розглядаються як "похідні нульового порядку", тобто . Враховуючи це, одержуємо

Зауваження. Доведення викладених вище формул похідних проводиться методом математичної індукції.

Диференціали вищих порядків.

Нехай функція y = f (x)

диференційована в кожній точці деякого проміжку . Її диференціал першого порядку dy =f ′(x)dx