Закон переносу кількості руху
Рівняння , що описується цим законом є узагальненням 2-го закону Ньютона для суцільного середовища. Його можна записати як і для лінійних так і для нелінійних законів фільтрації. Запишемо рівняння переносу кількості руху для лінійного закону фільтрації(Дарсі).
;
Об’ємна витрата рідини через породу прямо пропорційна втраті напору рідини 
на відстані 
і плоці фільтрації 
.
;
;
,
z - геометрична висота положення по відношенню до деякої точки;
- п’єзометрична висота положення по відношенню до деякої точки.
,
- зведений тиск (дальше в системі використовуємо тільки зведений тиск)
.
Знайдемо границю:
;
;
;
= 
x i+ y j+ z k;
;
;
;
.
Ці рівняння властиві тільки для ізотропного середовища, тобто середовища, у якого фізичні властивості у всіх напрямках однакові. Для анізотропного середовища вектори не збігаються за напрямками .
Контрольні запитання
1) Виведемо рівняння нерозривності.
2) Виведемо рівняння переносу кількості руху.
Рівняння Ейлера стосовно до рідин , що рухаються виражає другий закон Ньютона згідно якого зміна кількості руху пропорційна силі , що викликає рух і діє в напрямку дії цієї сили
Рівняння Жуковського базується на рівнянні Ейлера з врахуванням сили опору потоку, що виникає при взаємодії рідини зі скелетом породи
Рівняння збереження енергії
Енергія – загальна кількісна міра руху і взаємодії всіх видів матерії. Енергія не виникає з нічого , а тільки переходить з однієї форми в іншу. Рівняння збереження енергії є наслідком одного з основних законів природи:енергія зберігається в ізольованій системі і може переходити з однієї форми в іншу при збереженні її кількості. Якщо система неізольовано , то її енергія може змінюватися: при одночасній зміні енергії навколишніх тіл на ту ж величину; при зміні енергії взаємодії з навколишніми тілами , або за рахунок зміни енергії взаємодії самих тіл на ту ж величину.
Для введення рівняння збереження енергії виділимо в поровому просторі деякий елементарний об’єм .
Зміна енергії dE деякого порового об’єму дорівнює роботі зовнішніх сил dA і притоку (відтоку) певної кількості теплоти dQ.
dE=dA+dQ;
;
,
де K- емпіричний коефіцієнт;
- термічна температура;
T- температура в системі.
Рівняння стану
Рівняння стану використовується для спрощення диференціальних рівнянь. При русі суцільного середовища спостерігається зміна параметрів стану (Р, Т), що впливає на фізичні властивості як самого середовища так і пластового флюїду, що його насичує.
a=a(T,P)
=m- коефіцієнт об’ємного розширення скелету.
- коеф. об’ємної пружності середовища
Крайові умови
Призначені забезпечувати існування і єдність розв’язку. Кількість крайових умов визначається типом диференціального рівняння, а їх вигляд: умовами на границях пластових систем і початковим станом.
Початкові умови – задаються у випадку , коли розглядається нестаціонарно задача, їх кількість рівна порядку похідної по часу шуканої функції.
Р(r=0)=Pm.
Граничні умови – як правило задаються на границі пласта (покрівля, підошва). З математичної точки зору граничні умови задають характер зміни в часі шуканої функції на границі S деякої області D. Існують різні способи задання граничних умов.
Статично на границі S задаються відповідні поверхневі сили.
Кінематично на границі S задаються швидкості точок, що умовно описують фільтраційний рух .
Змішано на одних ділянках статично, на цілих кінематично.
В задачах руху рідин і газів використовують змішані граничні умови.
Граничні умови поділяють на 1-го і 2-го роду.
1-го роду – це значення самої функції на границі пласта Pn=Po
2-го роду- це значення похідної шуканої функції на границі пласта .
Контрольні запитання
1) Рівняння нерозривності фільтраційного потоку.
2) Рівняння переносу кількості руху.
3) Вивід лінійного закону Дарсі.
4) Рівняння збереження енергії.
5) Рівняння стану.
6) Поняття початкових і граничних умов.
7) Принципи моделювання пластових систем.
Лекція 4