Класифікація функцій одного аргументу
1. Ціла раціональна функція або многочлен.
–ціле, 
сталі (дії, за допомогою яких формується многочлен: додавання, віднімання, множення, піднесення до цілого додатнього степеня).
2. Дробова-раціональна функція
.
(крім перелічених чотирьох дій при формуванні 
, використовується дія ділення)
1.+ 2. 
раціональні функції.
3. Ірраціональна функція (при її формуванні до перелічених дій додається дія добування кореня).
Наприклад, 
.
(1.+ 2.) + 3. явні алгебраїчні функції.
4. Трансцендентні функції – усякі неалгебраїчні функції.
Найпростіші (елементарні) трансцендентні функції:
а) показникова 
б) логарифмічна 
в) тригонометричні 
г) обернені тригонометричні функції 
.
Функції алгебраїчні, елементарні трансцендентні і їх комбінації називаються елементарні функції.
Поняття зложеної (складеної) функції.
Нехай 
, а аргумент 
у свою чергу є деяка функція від 
. Тоді, зрештою, 
буде функцією від , яка називається зложеною функцією, або складеною, або функцією від функції.
.
Приклади: 
– проміжний аргумент. Зложену функцію можна утворити не тільки з 2-х функцій:
,
і 
– проміжні аргументи.
Границя функції
Поняття границі функції – одне з найважливіших у вищій математиці.
Нехай на деякій множині Χ визначена функція 
.
Означення. Число А називається границею функції 
при 
(або у точці 
), якщо для будь-якого ε > 0 можна знайти таке число 
> 0, що при всіх 
, які задовольняють нерівність
0 < 
< 
,
виконується нерівність
< 
.
Приклад 1. Покажемо, що функція 
має в точці 
0 границю, яка дорівнює 1.
Щоб це довести, ми повинні згідно з означенням для довільного ε > 0 вказати таке δ > 0, при якому із нерівності 
< δ випливала б нерівність
< ε.
Розглянемо 
< , оскільки 
<1.
Отже, оскільки < δ, то буде менше, ніж будь-яке ε > 0, досить δ взяти меншим, ніж ε: 0 < δ < ε.
Таким чином нерівність
<
виконується завжди для δ < ε. Тоді згідно з означенням 
.
Насправді визначення границі рідко використовується при обчисленні границь.
Приклад 2. Знайти 
Приклад 3. Знайти 
Існують дві визначальні границі:
1. 
2. 
Приклад 4. Знайти 
Приклад 5. Знайти 
Приклад 6. Знайти 
Функція називається неперервною в точці 
, якщо границя функції дорівнює її значенню в цій точці, тобто:
(1)
Точка називається точкою розриву функції , якщо у точці не є неперервною. Таким чином, у точках розриву функція не визначена.
Якщо функція неперервна на 
, тоді вона досягає на цьому відрізку свого найбільшого і найменшого значення, тобто 
, що (за теоремою Вейєрштрасса)
і 
(2) 