Анализ формулы Бауэрсокса-Клосса для расчета страхового запаса

В условиях неопределенности, вызванной различными причинами, но главным образом случайных характером ежедневного спроса d_j и продолжительности функционального цикла T_i, в работе [2] рекомендована формула для расчета требуемой величины страхового запаса.

SS = kσ_c, (9.5)

где k – коэффициент, определяемый с помощью табулированной функции f(k);

σ_c – общее среднее квадратичное отклонение.

В виду отсутствия в работе [2] ссылок на других авторов назовем ее формулой Бауэрсокса-Клосса.

Функция f(k) – функция потерь, определяющая площадь, ограниченную правой «ветвью кривой нормального распределения». В табл.9.4 приведены значения k и f(k).

Согласно [2] функция f(k) рассчитывается по формуле

f(k) = (1-SL)Q/σ_c, (9.6)

где SL – величина дефицита;

Q – размер заказа.

Величина дефицита SL в цитируемой работе называется также «уровнем доступности продуктов» или «желательный уровень обслуживания». Судя по размерности, SL может быть названа вероятностью отсутствия дефицита.

Входящее в формулы (9.5) и (9.6) общее среднее квадратическое отклонение рассчитывается по формуле

σ_c = , (9.7)

где - соответственно среднее значение продолжительности функционального цикла и количество продаж продукта в день;

σ_с, σ_d – соответственно средние квадратические отклонения случайных величин T и D.

Для иллюстрации формул приводится пример расчета при исходных данных Q=300 ед., σ_с =13 ед., SL – 0,99. По формуле (9.6) находится f(k)=0,2308; k=0,4 (по табл.1) и затем по формуле (9.5)

SS=0,4·13=5,2 ед.

Таким образом, по формулам Бауэрсокса-Клосса страховой запас в 5 единиц «обеспечивает насыщение спроса клиентов на 99% при размере заказа 300 единиц».

В табл.9.5 приведены результаты расчетов при других Q: 200 и 100 единиц. Из табл.9.5 следует парадоксальный вывод: чем меньше размер заказа Q, тем больше страховой запас SS.

Отсутствие убедительных доказательств данного явления в работе [2] потребовало дополнительных расчетов при различных Q, результаты которых приведены в табл.9.5. Анализ этих результатов показал

1. При величине заказа Q=50 ед., соответствующей средней продолжительности функциональных циклов поставок =10 дней, величина страхового запаса SS=18 ед. Эта величина сопоставима с σ_с=13 ед., но значительно меньше величины 3σ_с, соответствующей «величине дефицита SL=0,99».

Таблица 9.4

Значения функции потерь f(k) и коэффициента k (фрагмент)

2. При величине заказа Q=518 ед. страховой запас SS=0 и при дальнейшем увеличении Q остается равным нулю.

3. Поскольку в комментариях к формулам (9.5) - (9.7) ничего не говорится об ограничениях, то был проведен расчет при Q= =5ед., т.е. при =1 день. Величина запаса составила SS=29,6 ед., следовательно, превзошла среднюю ежедневную поставку в 6 раз.

4. Полученные результаты настораживают не только с точки зрения страхового запаса, но и возможной вариации «величины дефицита» SL. Так, при Q=300 ед., σ_с=13 ед. варьирование значений функции f(k) от 0,3989 до 0,0003 в формуле (2) привело к изменению SL всего на 0,017, т.е. от SL=0,983 до SL=1,00.

Таблица 9.5

Зависимость страхового запаса от размера заказа

(по Бауэрсоксу-Клоссу)

Но не поддается объяснению область значений, когда «величина дефицита» SL становится меньше нуля, что противоречит физической сущности данной вероятностной характеристики. Например, в анализируемом примере при f(k) = 0,4 и Q = 5 ед. находим

SL = 1 - = - 0,04

Рассмотрим другой подход к расчету страхового запаса. При наличии статистической информации о ежедневных продажах ( , σ_σ, Закон распределения) и продолжительности функционального цикла выполнения заказа ( , σ_т, Закон распределения).

Для расчета используется формула

d₃ = t_pσ_c, (9.8)

где d₃ – величина страхового запаса

t_p – коэффициент, соответствующий вероятности Р отсутствия дефицита продукции на складе.

σ_c – среднее квадратическое отклонение.

Расчет по формуле (9.8) производится при следующих допущениях.

1. В начальный момент на складе находится Q единиц продукции, рассчитываемой по формуле

Q = (9.9)

Вывод формулы (9.9 приведен, например, в работе Е. С. Вентцель для «математического ожидания суммы случайного числа случайных величин: Z= , где x и y – случайные величины. Аналогичная формула приведена в [2].

2. Если по мере реализации суммарный расход ∑d_i достигает Q в момент времени T_j, а заявки продолжают приходить, то наступает ситуация дефицита. Предполагается, что неудовлетворенные заявки продолжают накапливаться до случайного момента Т_к – времени поступления нового заказа. Таким образом, речь идет о прогнозируемом процессе накопления заявок, а не на реальном расходе на интервале ∆Т=Т_к – Т_j

3. Допустим, что статистические параметры, характеризующие ежедневный расход (или объем продаж), и σ_d – постоянны и не зависят от продолжительности цикла Т; закон распределения ежедневных продаж – нормальный. Для продолжительности функционального цикла, подчиняющегося нормальному закону, среднее значение равно , а среднее квадратическое отклонение

, (9.10)

где υ_т – коэффициент вариации, определенный на основе статистической обработки для базовой выборки.

Например, если статическая информация собрана для базового функционального цикла с параметрами =10 дней и σ_т=2 дня [1], то υ_т=0,2 и для цикла с =20 дней, соответственно σ_т=20=0,2·20=4 дня.

Таким образом, формула (2) может быть записана в виде

, (9.11)

а при подстановке σ_с в формулу (9.8), получим

, (9.12)

Рассчитаем величину страхового запаса для Q= =5 ед. и σ_d=2,54; υ_т=0,2, т.е. при средней ежедневной поставке =1 день. Очевидно, =1 является нижней границей продолжительности функционального цикла при расчете по формуле (9.12). При подстановке t_p=1,282, что соответствует вероятности отсутствия дефицита 0,9, находим

ед.

Соответственно, при Р=0,99 и t_p=2,33 d₃=6,36 ед.

При учете того, что ежедневная поставка Q=5 ед. и страховой запас (при Р=0,99) равен d₃~6 ед. на складе в начале дня должен находиться запас в 11 единиц.

Результаты расчетов для других величин поставок приведены в табл.9.6. Там же для сравнения приведены результаты расчетов по формулам (9.5), (9.6) при условии, что расчет общего среднего квадратического отклонения приводился по формуле (9.11).

Из анализа табл.9.6 следует.

· при расчете по формуле (9.12) величина страхового запаса возрастает с увеличением длительности функционального цикла поставок продукции со склада;

· при использовании откорректированной зависимости для общего среднего квадратического отклонения σ_с, формула (9.11), величина страхового запаса также возрастает при увеличении длительности цикла Т, но менее интенсивно, чем при расчете по формуле (9.12).

· поскольку в работе [2] не удалось найти объяснение, почему уменьшается величина страхового запаса при расчете по формулам (9.5)-(9.7), то, на наш взгляд, не следует использовать указанные формулы для расчетов без проведения дополнительных исследований.

Таблица 9.6

Величина страхового запаса при различных размерах заказа Q.

10 Транспортная логистика: решение задач автотранспортных перевозок*

Общий алгоритм планирования грузовых автомобильных перевозок

В период централизованного регулирования экономикой планирование перевозок между производителями и потребителями продукции успешно осуществлялось в рамках задач: транспортной и маршрутизации. Рассчитанные планы перевозки на стадии оперативного планирования в автотранспортных предприятиях корректировались с помощью диспетчеризации, особенно трудоемкой при перевозках на небольшие расстояния, с учетом конкретных объемов перевозки, типа и количества подвижного состава, грузоподъемности используемых автомобилей и т.д.

Автотранспортные предприятия представляли собой крупные народнохозяйственные комплексы. Среднее количество автомобилей на предприятиях общего пользования для крупных городов составляло 200 – 250 единиц; для областных и районных центров – 100 – 150 единиц; на ведомственном транспорте 50 – 70 единиц.

В этот период основной идеей транспортной задачи было рациональное с точки зрения затрат на перевозку закрепление потребителей за поставщиками. Применялась она для планирования перевозок массовых грузов: удобрения и проведение уборочных работ в сельском хозяйстве; продукции машиностроения; строительных грузов и т. п.

Целью маршрутизации перевозок была минимизация общего пробега автомобиля в течении смены посредством, во-первых, "увязки" ездок при планировании перевозок массовых грузов; во-вторых, организация движения при развозочных, сборных или развозочно-сборных маршрутах. Задача "увязки" ездок возникала в случае когда автомобиль в течение смены должен перевезти груз от одного или нескольких отправителей нескольким получателям по маятниковым маршрутам. При развозке продуктов (товаров) со склада в магазины, сборе тары и т. д. решалась задача коммивояжера (второй тип задач маршрутизации).

В период 1990 – 2000 г.г. произошли коренные изменения в экономике страны, выразившиеся в падении производства и разукрупнении предприятий, что привело к нарушению связей между поставщиками и потребителями.

На транспорте наметились две основные тенденции: уменьшение объема перевозок и старение парка подвижного состава. Приватизация, разгосударствление и акционирование в сфере автотранспорта привели к тому, что основная масса автотранспортных предприятий насчитывает в настоящее время не более 10 единиц подвижного состава. Проведенные исследования говорят о том, что при внутригородских перевозках автомобиль в 75 – 80 % случаях выполняет один рейс в день, т. е. снижается трудоемкость диспетчеризации. Параллельно происходила реструктуризация парка автомобилей в пользу малотоннажных и большегрузных машин, связанная с развитием внутрироссийского и международного рынков.

Следует отметить, что произошедшие изменения в характере спроса на транспортные услуги привели к тому, что на сегодняшний день в структуре грузооборота 80% составляют мелкопартионные грузы, перевозимые или по маятниковым или по развозочным (сборным, сборно-развозочным) маршрутам. При такой схеме организации перевозок не опадает необходимость решения транспортной задачи. Об этом свидетельствует и данные проведенного опроса среди автотранспортных предприятий северо-западного региона России (РФ), основной целью которого было выяснить схему работы автомобиля на маршруте. Результаты опроса приведены в табл.10.1.

Таблица 10.1

Таким образом, 52,0 % предприятий осуществляют перевозку по кольцевым развозочным или сборным маршрутам и 31 % - по маятниковым маршрутам. Только 17 % респондентов отметили сложную схему организации движения "несколько мест погрузки и разгрузки", 80 % из которых занимаются междугородними перевозками, и указанная схема работы с клиентами возникает из-за стремления увеличить степень использования автомобиля по грузоподъемности (грузовместимости).

Дальнейшие исследования и опросы перевозчиков показали: в настоящее время классическая транспортная задача решается для крупных фирм, имеющих сеть складов или филиалов, а так же для средних и мелких предприятий, для уменьшения транспортных затрат при массовой перевозке сырья или готовой продукции. Решение задачи маршрутизации по-прежнему особенно актуально при внутригородских перевозках.

Очевидно, по мере развития рыночной экономики в стране, повышение эффективности транспортного процесса требует новых подходов к организации перевозок. Это привело к появлению нового направления – транспортной логистики.

Анализ публикаций дает возможность говорить, что предметом транспортной логистики является комплекс задач планирования и управления, связанных с перемещением грузов транспортом, а именно:

- обеспечение технической и технологической сопряженности участников транспортного процесса, согласования их экономических интересов;

- обеспечение технологического единства транспортно-складского хозяйства;

- совместное планирование производственного, транспортного и складского процессов;

- выбор вида транспортного средства (ТС);

- выбор типа ТС;

- определение рациональных маршрутов;

- выбор перевозчика и экспедитора.

Для решения поставленных задач в транспортной логистике используются следующие методы и модели:

1. модели выбора перевозчика;

2. маршрутизация перевозок (транспортная задача, задача коммивояжера и др.);

3. модель "точно – во – время";

4. экономико-математическая модель макрологистической системы (производственно-транспортная задача);

5. модели "производство – транспорт – потребление" и др.

При решении задач по оперативному планированию грузовых автомобильных перевозок основными экономико-математическими моделями являются модели транспортной задачи и задач маршрутизации. Развитие систем доставки грузов показывает, что дальнейшая интенсификация процесса перевозки возможна только за счет внедрения принципа фиксированного времени доставки грузов потребителям, то есть применения логистического принципа "точно – во – время".

С точки зрения организации перевозочного процесса возможны три основные схемы, с которыми сталкиваются автотранспортные предприятия (табл. 10.2 )

Первая схема организации перевозок, наиболее простая с точки зрения планирования, "один – к – одному" не требует от автотранспортного предприятия решения ни транспортной задачи, ни задачи маршрутизации.

Планирование деятельности автотранспортного предприятия в случае организации перевозки по схеме 2 ("один – ко – многим") требует решения задачи маршрутизации, которая включает в себя решение:

- задачи "увязки" ездок, если между грузоотправителями и грузополучателями перевозка осуществляется только по маятниковым маршрутам [3; 8, 17];

Таблица 10. 2

Схемы организации перевозочного процесса

Условное название схемы	Схема перевозочного процесса
1. Один – к – одному
2. Один – ко – многим
3. Многие – ко - многим

- задачи коммивояжера, если между грузоотправителями и грузополучателями перевозка осуществляется только по развозочным (сборным или сборно-развозочным) маршрутам [1, 3, 8];

- двух вышеперечисленных типов задач, если при организации перевозочного процесса используются как маятниковые, так и развозочные (сборные или сборно-развозочные) маршруты.

При организации движения по схеме "многие – ко – многим" требуется на первом этапе решить транспортную задачу [4, 9], затем задачу маршрутизации (второй этап).

Учитывая возможные варианты схемы организации движения автомобиля на маршруте и временные ограничения, накладываемые на перевозку, планирование на автотранспортном предприятии можно представить в виде алгоритма (рис.10.1).

Рассмотрим более подробно блоки разработанного алгоритма. В первом блоке формируется база данных, включающая сведения о количестве транспортных средств, их типе и грузоподъемности; количестве грузоотправителей и грузополучателей; ограничениях, накладываемых грузоотправителем и грузополучателем на партию груза, которая может быть отправлена и получена соответствующим субъектом; временных ограничениях по доставке грузов в пункты назначения и их вывозу из пунктов отправления; затратах на перемещение единицы груза от каждого отправителя каждому получателю и другие. На основе полученной информации определяется схема организации перевозок (второй блок). Анализ клиентурных заявок позволяет сгруппировать их по схемам согласно табл. 10.2.

В третьем блоке, вначале, проверяется условие: используется ли при перевозке груза схема "многие – ко – многим". Если условие выполняется, то решается транспортная задача.

Экономико-математическая модель классической транспортной задачи в общем виде представлена формулами (1) – (10.5) [3]:

, (10.1)

, (10.2)

, (10.3)

, (10.4)

, (10.5)

где i – количество поставщиков;

j – количество потребителей;

a_i – ограничения по предложению;

b_j – ограничения по спросу;

c_ij – элементы целевой функции;

x_ij – объем корреспонденции между i-й и j-й точками.

Рис.10.1 Общий алгоритм планирования грузовых автомобильных перевозок.

Критерием оптимальности в транспортной задаче могут выступать минимум транспортной работы в тонно-километрах, затраты времени или стоимость перевозки.

Для решения транспортной задачи широко применяется распределительный метод, который имеет несколько разновидностей, отличающихся в основном способом выявления оптимального решения. Наиболее известны три метода решения задач данного типа: метод Хичкова; метод Креко; модифицированный распределительный метод или метод потенциалов [8].

В настоящее время классическая транспортная задача с успехом может быть решена с помощью программы Microsoft Excel.

На последнем этапе третьего блока определяется, по каким маршрутам – маятниковому или развозочному (сборному или сборно-развозочному) – будет перевозиться груз от каждого отправителя к получателям, закрепленными за ним после решения транспортной задачи.

В четвертом блоке проверяется условие: используется ли при перевозке груза схема "один – к – одному". Если условие не выполняется, то перевозка между грузоотправителями и грузополучателями осуществляется по схеме 2 ("один – ко – многим"), при которой требуется решать задачи маршрутизации.

Математическая постановка задачи зависит от типа маршрута, по которому перевозятся грузы. В качестве примера одной из задач маршрутизации рассмотрим задачу отыскания маршрута движения автомобиля, осуществляющего развозку некоторого вида груза из некоторого базового пункта по нескольким пунктам, связанными между собой автомобильными дорогами [3]. Пусть число таких пунктов равно n и c_ij – расстояние от пункта i до пункта j, i,j = , где 0 соответствует базовому пункту. В каждый пункт с номером автомобиль должен побывать ровно один раз, и после развозки всех грузов ему необходимо вернуться в базовый пункт.

Задача состоит в определении порядка посещения автомобилем пунктов с номерами так, чтобы суммарное расстояние, проходимое автомобилем, было минимальным.

Для математической формулировки рассмотренной задачи вводятся переменные x_ij, которые могут принимать следующие значения:

если автомобиль из пункта с номером i переезжает в пункт с номером j;

в противном случае,

где i,j = , i ≠ j.

Далее система соотношений образует математическую модель и отражает закономерность функционирования системы развозки грузов по n пунктам из базового пункта:

(10.6)

(10.7)

(10.8)

где U_i и U_j – произвольные вещественные значения.

Условия (10.6) - (10.7) исключают циклы (петли) на маршруте, поскольку приезд автомобиля в каждый пункт и выезд из каждого пункта происходит ровно один раз. Условие (10.8) не допускает расщепления замкнутого из n+1 звеньев маршрута автомобиля на несколько замкнутых маршрутов меньшего числа звеньев. В качестве целевой функции в рассмотренной задаче выступает длина маршрута автомобиля, которая подлежит минимизации:

(10.9)

В качестве целевой функции можно рассматривать не только длину маршрута, но и связанные с ней экономические показатели. Например, затраты на перевозку, а также показатели качества обслуживания, например, время доставки грузов.

Сформулированная задача известна как задача коммивояжера. Существует множество математических методов, позволяющих найти как точное, так и приближенное решение поставленной задачи. Среди методов, дающих точное решение, наибольшее распространение получил метод "ветвей и границ" [8].

Приближенный метод Кларка – Райта решения задачи коммивояжера основан на понятии "выгоды", которая получается от объединения двух маятниковых маршрутов в один кольцевой. Использование этого метода дает возможность учесть расположение автотранспортного предприятия [8].

Составленный маршрут не учитывает случайного характера составляющих перевозочного процесса; их количественная оценка может быть получена с использованием моделирования (шестой блок).

Для внутригородской перевозки необходимо определить время на движение автомобиля с грузом (t_грi) и без груза (t_хi) на i-ом участке, время на погрузку у j-ого поставщика (t_пj) и на разгрузку у l-ого потребителя(t_рl), включающие время ожидания погрузки и разгрузки соответственно. Сумма всех составляющих дает время в наряде (T_н) :

T_н = ∑t_пj + ∑t_грi + ∑t_рl + ∑t_хi (10.10)

Логистический подход к моделированию времени на выполнение транспортных услуг требует увязки работы автомобильного транспорта с режимом работы поставщиков и потребителей груза, т.е. необходимо учитывать время начала и окончания обеденных (технологических) перерывов в работе клиентов. Поэтому формула (10.10) должна быть откорректирована и представлена в виде:

T_н = ∑t_пj + ∑t_грi + ∑t_рl + ∑t_х + ∑η_j + ∑ψ_l (10.11)

где η_j – случайная составляющая, учитывающая обеденные (технологические) перерывы j-ого поставщика;

ψ_l - случайная составляющая, учитывающая обеденные (технологические) перерывы l-ого потребителя.

Включение составляющих η_j и ψ_l обусловлено возможными пересечениями, частичными накладками составляющих перевозочного процесса и времени обеденных (технологических) перерывов поставщика или потребителя. Так, например, погрузка автомобиля у поставщика не будет выполняться, если на момент прибытия оставшееся время до обеда меньше самого времени погрузки или если автомобиль прибыл во время обеденного перерыва. Аналогичные простои, связанные с технологическими (обеденными) перерывами, могут возникнуть и в пункте разгрузки.

При международной перевозке общее время нахождения автомобиля в рейсе определяется по следующей формуле [13]:

(10.12)

где t_i,i+1 – время движения между i-м и (i+1)-м пунктами;

τ_j – время оформления таможенных документов в j-м пункте;

Θ_k - время погрузки, разгрузки и складирования в k-ом пункте;

A, B, C – количество участков движения автомобиля, пунктов таможенного оформления и пунктов погрузки-разгрузки соответственно.

Формула (10.12) расчета времени рейсе не учитывает специфику международных перевозок: во-первых, ограничением режима труда и отдыха водителя или экипажа согласно ЕСТР; во-вторых, запретами (ограничениями) на движение большегрузных автомобилей по территории некоторых европейских стран в выходные и праздничные дни; в-третьих, необходимостью проведения ремонтно-профилактических воздействий, в частности, устранением отказов, а также другими причинами простоя на линии, например, поверками дорожной полицией нагрузок на оси, которые входят в период производственной деятельности водителя в течение рабочего дня, иной, чем управление автомобилем.

Таким образом, формула (10.12) для общей продолжительности рейса должна быть откорректирована с учетом вышеуказанных факторов и представлена в виде:

(10.13)

где φ_i – случайная составляющая, отражающая увеличение времени рейса для проведения ремонтно-профилактических воздействий и других причин;

ψ_m – случайная составляющая, отражающая ограничения связанные с ЕСТР;

η_n – случайная составляющая, отражающая запреты на движения большегрузных автомобилей;

D, E, F –число случаев простоя автомобиля с учетом указанных факторов, соответственно.

Рассчитанное значение времени рейса позволяет определить гарантированный срок доставки груза потребителю.

Количество временных составляющих, включаемых во время рейса, возрастает при интермодальных или смешанных перевозках. В этом случае требование к соблюдению сроков перевозки диктуется не только клиентом, но и спецификой организации такого рода перевозки (например, опоздание на паром приводит к незапланированным многочасовым простоям).

Особенностью расчета времени рейса и в наряде по формулам (10.11) и (10.13) являются нелинейность, из-за ограничений связанных с ЕСТР, режимом работы складов и т.д., и случайного характера временных составляющих перевозочного процесса.

В седьмом блоке определяется соотношение смоделированных значений времени нахождения автомобиля в наряде (в рейсе) с требованиями клиентов по срокам доставки груза. Например, для внутригородской перевозки определяется возможность обслуживания всех потребителей на маршруте в пределах установленных временных интервалов. Если условие не выполняется, то требуется откорректировать маршрут, или, если возможно, время работы складов, грузоподъемность используемого на данном маршруте подвижного состава и заново смоделировать время движения.

Таким образом, предлагаемая иерархия моделей формирует единый подход к формализации методов решения транспортной логистики и теории организации перевозок; охватывает основные типы транспортных задач, применительно к автомобильным перевозкам в пространстве (распределительная задача, маршрутизация) и во времени; позволяет осуществить трехуровневую оптимизацию по мере редуцирования количества рассматриваемых объектов (поставщики, потребители) и последовательного включения дополнительных факторов, связанных с конкретными маршрутами перевозок.

С целью апробации разработанного алгоритма были выполнены расчеты на условных примерах, подтверждающие эффективность подложенной методики с точки зрения сокращения времени разработки оптимальных маршрутов автомобильных перевозок.

Для иллюстрации предложенного алгоритма рассмотрим пример.

1. Из пунктов a₁ и a₂ необходимо доставить груз в пункты b₁ – b₁₅ в требуемом количестве (табл. 10.3). Согласно алгоритму (рис.10.1) на втором этапе определяется схема доставки. В соответствии с предложенной в табл. 10.2 классификацией при доставке груза используется схема "многие – ко – многим".

Условие третьего этапа выполняется, поэтому необходимо решить транспортную задачу (исходная информация приведена в табл. 3).

Таблица 10.3

• ⇐ Назад
9
10
11
12
13
14
15
16
171819
20
21
22
23
24
Далее ⇒