ИНТЕГРАЛЫ, СОДЕРЖАЩИЕ КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Методические указания и

Контрольные задания № 3, 4

Для студентов заочной формы обучения

Ростов-на-Дону

2012 г.

УДК 517.5 (08)

 

Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения. - Ростов-на-Дону: РГСУ, 2012.- 32 c.

 

Методические указания содержат методы решения заданий из контрольных работ № 3, 4. Приведены необходимые теоретические сведения. Изложение сопровождается подробным решением типичных примеров.

Предназначены для студентов заочной формы обучения специальности ЗПГС, ЗИСС.

 

Составители: Богданов А.Е.

Корабельников Г.Я.

Рецензент: Ляпин А.А.

 

Редактор Н.Е.Гладких

Темплан 2012 г., поз.

ЛР 020818 от Подписано в печать Формат 60х84/16

Бумага белая. Ризограф. Уч. – изд. л. 2,0. Тираж 50 экз. Заказ

Редакционно-издательский центр Ростовского государственного строительного университета

344022, Ростов н/Д, ул. Социалистическая, 162

 

ã РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ, 2012

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 3

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

При изучении дифференцированного исчисления решалась следующая задача: дана функция F(x), найти ее производную F¢(x) (в дальнейшем производную F¢(x) будем обозначать f(x)). Интегральное исчисление решает задачу обратную: для непрерывной функции f(x) найти такую функцию F(x), производная которой была бы тождественно равна функции f(x). Функция F(x) называется первообразной,

f(x) - подынтегральной. Ясно, что если F¢(x) = f(x), то и [F¢(x) + C]¢ = f(x). Здесь

С - произвольная постоянная величина.

Определение:

Неопределенным интегралом называется функция F(x) + C, производная которой равна подынтегральной функции f(x), т.е.

= F(x) + C, если [F(x) + C]¢ = f(x).

Подынтегральное выражение f(x)dx есть дифференциал для всех первообразных, т.е. d[F(x) + C] = f(x)dx.

Из определения следует, что процесс нахождения неопределенного интеграла сводится к нахождению первообразной данной функции.

ПРИМЕР:

Пусть f(x) = х. Тогда = 1/2x2 + C.

Справедливость равенства легко проверить дифференцированием:

.

Вообще, используя таблицу производных, можно составить таблицу основных интегралов:

1. 9.
2. 10.
2¢. 11.
3. 12.
3¢. 13.
4. 14.
5. 15.
6. 16.
7. 17.
8. 18.

 

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

1. , т.е. знаки d и ò, стоящие перед некоторой функцией, друг друга уничтожают. Так .

2. , т.е. постоянный множитель можно выносить за знаки интеграла.

3. , т.е. неопределенный интеграл от суммы некоторых функций равен сумме интегралов от этих функций.

ПРИМЕР:

 

ЗАДАЧА № 1

Найти неопределенный интеграл .

=

МЕТОД ПОДСТАНОВКИ

Метод заключается в том, что вместо переменной x вводят новую переменную, например t. Так, если положить х = j(t), то

Получаемый интеграл должен быть значительно проще данного. В противном случае следует искать другую форму введения новой переменной. Часто переменную t вводят так: t = j(x), а dt = j¢(x)dx. Это удобно, если данное подынтегральное выражение содержит дифференциал j¢(x)dx.

ПРИМЕР:

Видно, что Cosx dx является дифференциалом для функции Sinx = t, Cosx dx = dt.

Получим (далее нужно вернуться к функции Sinx)

ЗАДАЧА № 2

Найти неопределенный интеграл .

=

ЗАДАЧА № 3

Найти неопределенный интеграл .

.

ЗАДАЧА № 4

Найти неопределенный интеграл .

=

 

ИНТЕГРАЛЫ, СОДЕРЖАЩИЕ КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН

В квадратном трехчлене ах2 + вх + С следует выделить полный квадрат:

.

ПРИМЕР:

 

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ

Идея метода состоит в том, что подынтегральное выражение f(x)dx нужно представить в виде произведения U*dV , где U(x) и V(x) - дифференцируемые функции и воспользоваться формулой .

При этом вновь полученный интеграл должен быть проще данного.

ЗАДАЧА № 5

Найти неопределенный интеграл .

=

ЗАДАЧА № 6

Найти неопределенный интеграл .

=

ЗАДАЧА № 7

Найти неопределенный интеграл .